Question

Точка не лежит в плоскости... Как доказать, что прямая параллельна (см.)?

Точка Р не лежит в плоскости трапеции ABCD с основаниями AD и ВС. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков РВ и РС, параллельна средней линии трапеции.

Answer 1

Рассмотрев внимательно получившуюся конструкцию, с удивлением замечаем, что отрезки РВ и РС, совместно с основанием ВС образуют замечательную фигуру - треугольник. При этом ВС - это основание треугольника, а РС и РВ - его боковые стороны (признаюсь, просто так обозначил для удобства дальнейших рассуждений). Из всего этого следует, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника, является его средней линией и, кроме ряда других важных свойств, обладает тем, что всегда параллелен основанию треугольника.

То есть, этот самый отрезок параллелен одному из оснований трапеции (стороне ВС). Но, средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а мы знаем, что если две линии попарно параллельны третьей, то они и взаимно параллельны.

Следовательно, линия, проходящая через указанный отрезок и параллельная основанию трапеции, параллельна и её средней линии. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Прямая m, проходящая через середины отрезков РВ и РС, является средней линией треугольника РВС, которая параллельна прямой ВС.

Средняя линия n трапеции ABCD параллельна основаниям трапеции AD и ВС.

Таким образом прямые m и n параллельны одной и той же прямой ВС, и значит, они параллельны друг другу. Что и требовалось доказать.