Question

Богом прошу, помогите!

Найдите, в какой точке графика функции y = x√3 - x³/ 3 касательная наклонена к оси абсцисс под углом α=π/3.

Answer 1

Дано: y = x√3 - x³/ 3; α = π / 3.
Найти: O (x; y)

Из данной функции y = x√3 - x³/ 3 найдём производную: y ' = √3 - x²

k = tg α = f ' (x₀)

k - это угловой коэффициент касательной
tg α - это тригонометрическая функция; отношение противолежащего катета к прилежащему катету
f ' (x₀) - это производная функции (скорость изменения функции в данной точке).

Из данной функции найти k очень тяжело.
Воспользуемся значением угла α
По формуле tg α = f ' (x₀)

tg π / 3 = √3

Теперь подставляем в формулу tg α = f ' (x₀) вместо tg α - √3, а вместо f ' (x₀) - √3 - x² и решаем уравнение:

√3 = √3 - x²
- x² = 0
х = 0 => О (0; у), найдём у:

Подставляем полученное значение х в y = x√3 - x³/ 3:
у = 0 * √3 - 0³ / 3 = 0 => О (0; 0)

Ответ: О (0; 0) - точка соприкосновения 

Answer 2

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. В свою очередь тангенс угла наклона прямой к оси ox равен угловому коэффициенту.
f'(x0)=k=tg(a)
находим производную данной функции:
$y'= (x\sqrt{3})'- (\frac{1}{3}x^3)'=\sqrt{3}-x^2$
пусть x координата искомой точки будет b, тогда:
$y'(b)=\sqrt{3}-b^2$
нам известен угол наклона, значит:
$tg(a)= tg(\frac{\pi}{3} )=\sqrt{3}=y'(b)=\sqrt{3}-b^2$
решим уравнение:
$\sqrt{3}=\sqrt{3}-b^2 \\b^2=0 \\b=0$
найдем y- координату точки: y(0)=0
значит в точке (0;0) касательная составляет с графиком данной функции угол в $\frac{\pi}{3}$
Ответ: (0;0)