Question

Найдите сумму корней уравнения x^3+3x^2-3x-1=0

Answer 1

Здесь уравнение можно решить методом разложения на множители.

$(x^3-1)+(3x^2-3x)=0\\ (x-1)(x^2 +x+1)+3x(x-1)=0\\ (x-1)(x^2+x+1+3x)=0\\ (x-1)(x^2+4x+1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

x-1=0 откуда х=1

$x^2+4x+1=0$

Сумма корней квадратного уравнения $x_1+x_2=-4$ (по теореме Виета), тогда сумма корней исходного уравнения: 1 - 4 = -3

Answer 2

${x}^{3} + 3 {x}^{2} - 3x - 1 = 0$

Сгруппируем и воспользуемся формулой:

а³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² ) - разность кубов

$(3 {x}^{2} - 3x) + ( {x}^{3} - 1) = 0 \\ \\ 3x(x - 1) + (x - 1)( {x}^{2} + x +1) = 0 \\ \\ (x - 1)(3x + {x}^{2} + x + 1) = 0 \\ \\ (x - 1)( {x}^{2} + 4x + 1) = 0 \\ \\ 1) \: x - 1 = 0 \\ x = 1 \\ \\ 2) \: {x}^{2} + 4x + 1 = 0$
D = 4² - 4×1×1 = 16 - 4 = 12 = ( 2√3 )²

x1 = -2 - √3

x2 = -2 + √3

Сумма корней уравнения:

х1 + х2 + х3 = 1 - 2 - √3 - 2 + √3 = - 3

ОТВЕТ: - 3