X⁴+2x³-14x²-11x-2=0 Предположим, что левую часть уравнения можно разложить на множители c целыми коэффициентами, т.е. x⁴+2x³-14x²-11x-2=(x²+px+q)(x²+rx+s), где p,r,s,q∈Z Применим метод неопределённых коэффициентов: {p+r=2 {s+q+pr=-14 {ps+qr=-11 {qs=-2
Из последнего уравнения видно, что для q возможны значения: 1, -1, 2 и -2 Пусть q=1, тогда s=-2 {ps+qr=-11 {-2p+r=-11 {r=2p-11 {s+q+pr=-14 => {-2+1+pr=-14 => {pr=-13 p(2p-11)=-13 2p²-11p+13=0 D=(-11)²-4*2*13=121-104=17 p₁=(11+√17)/4∉Z p₂=(11-√17)/4∉Z Следовательно, q≠1
Пусть q=-1, тогда s=2 {ps+qr=-11 {2p-r=-11 {r=2p+11 {s+q+pr=-14 => {2-1+pr=-14 => {pr=-15 p(2p+11)=-15 2p²+11p+15=0 D=11²-4*2*15=121-120=1 p₁=(-11+1)/4=-10/4=-2,5∉Z p₂=(-11-1)/4=-12/4=-3∈Z p=-3 => r=-15/-3=5 При найденных коэффициентах, уравнения системы будут верны. (Проверяем обычной арифметической подстановкой: {-3+5=2 {2+(-1)+(-3)*5=-14 {-3*2+(-1)*5=-11 {-1*2=-2
Следовательно, q=-1 Итак, левую часть уравнения можно разложить на множители: x⁴+2x³-14x²-11x-2=(x²-3x-1)(x²+5x+2) Решим уравнение: (x²-3x-1)(x²+5x+2)=0 x²-3x-1=0 или x²+5x+2=0 D₁= 13 D₂=17 x₁=(3+√13)/2 x₃=(-5+√17)/2 x₂=(3-√13)/2 x₄=(-5-√17)/2
