Рассмотрим некоторые случаи. Случай первый, если
![x-1+a \geq 0(\ \textless \ 0)](https://tex.z-dn.net/?f=x-1%2Ba+%5Cgeq+0%28%5C+%5Ctextless+%5C+0%29)
и
![(x-a+1) \geq 0(\ \textless \ 0)](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-a%2B1%29+%5Cgeq+0%28%5C+%5Ctextless+%5C+0%29)
, то после раскрытия модуля мы будем иметь уравнение в следующем виде
![x^2+(1-a)^2=\pm2x](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%281-a%29%5E2%3D%5Cpm2x)
.
Переносим все в левую часть, т.е.
![x^2\mp2x+(1-a)^2=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%5Cmp2x%2B%281-a%29%5E2%3D0)
. Квадратное уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю, следовательно,
![D=(\mp2)^2-4(1-a)^2=0](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%28%5Cmp2%29%5E2-4%281-a%29%5E2%3D0)
![4-4(1-a)^2=0;\,\,\,\,\,\, 1-a=\pm1](https://tex.z-dn.net/?f=4-4%281-a%29%5E2%3D0%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C+1-a%3D%5Cpm1)
откуда
![a_1=0;\,\,\,\,\, a_2=2](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3D0%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C+a_2%3D2)
Если а=0, то уравнение примет вид
![x^2+1=|x-1|+|x+1|](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B1%3D%7Cx-1%7C%2B%7Cx%2B1%7C)
. Поскольку левая и правая часть уравнения принимает неотрицательные значения, то решением уравнении являются корни
![x_1=1](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D1)
и
![x_2=-1](https://tex.z-dn.net/?f=x_2%3D-1)
. Значит параметр а=0 лишний.
Если а=2, то уравнение примет вид
![x^2+1=|x+1|+|x-1|](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B1%3D%7Cx%2B1%7C%2B%7Cx-1%7C)
, корни которого являются
![x=\pm1](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cpm1)
.
Если
![x-1+a \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=x-1%2Ba+%5Cgeq+0)
и
![x-a+1\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=x-a%2B1%5C+%5Ctextless+%5C+0)
, то уравнение примет вид
![x^2+(1-a)^2=2a-2](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%281-a%29%5E2%3D2a-2)
.
![x^2=2a-2-(1-a)^2](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3D2a-2-%281-a%29%5E2)
В этом случае уравнение будет иметь единственный корень, если
![2a-2-(1-a)^2=0](https://tex.z-dn.net/?f=2a-2-%281-a%29%5E2%3D0)
.
![2(a-1)-(a-1)^2=0\\ (a-1)(3-a)=0](https://tex.z-dn.net/?f=2%28a-1%29-%28a-1%29%5E2%3D0%5C%5C+%28a-1%29%283-a%29%3D0)
. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, т.е.
![a-1=0](https://tex.z-dn.net/?f=a-1%3D0)
откуда
![a=1](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D1)
и
![3-a=0](https://tex.z-dn.net/?f=3-a%3D0)
откуда
![a=3](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D3)
Подставив значение а=1, то уравнение примет вид
![x^2=2|x|](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3D2%7Cx%7C)
. Возведя все в квадрат, получим
![x^4=4x^2 ](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4%3D4x%5E2%0A)
![x^4-4x^2=0\\ x^2(x-2)(x+2)=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4-4x%5E2%3D0%5C%5C+x%5E2%28x-2%29%28x%2B2%29%3D0)
Откуда
![x_1=0;\,\,\, x_{2,3}=\pm2](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D0%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C+x_%7B2%2C3%7D%3D%5Cpm2)
. Значит а=1 нам не подходит.
Если а=3, то уравнение примет вид
![x^2+4=|x+2|+|x-2|](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B4%3D%7Cx%2B2%7C%2B%7Cx-2%7C)
, то решение этого уравнения будет только корень х=0.
Если
![x-1+a\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=x-1%2Ba%5C+%5Ctextless+%5C+0)
и
![x-a+1 \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=x-a%2B1+%5Cgeq+0)
, то уравнение примет вид
![x^2+(1-a)^2=2a-2](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%281-a%29%5E2%3D2a-2)
![x^2=2a-1+(1-a)^2](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3D2a-1%2B%281-a%29%5E2)
Уравнение имеет единственный корень, если
![2a-2+(1-a)^2=0](https://tex.z-dn.net/?f=2a-2%2B%281-a%29%5E2%3D0)
![2(a-1)+(a-1)^2=0\\ (a-1)(a+1)=0](https://tex.z-dn.net/?f=2%28a-1%29%2B%28a-1%29%5E2%3D0%5C%5C+%28a-1%29%28a%2B1%29%3D0)
Откуда
![a=\pm1](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Cpm1)
Если
![a=1](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D1)
, то уравнение примет вид
![x^2=2|x|](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3D2%7Cx%7C)
- это уравнение было решено ранее. Поэтому а=1 нам не подходит.
Если
![a=-1](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-1)
, то уравнение примет вид
![x^2+4=|x-2|+|x+2|](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B4%3D%7Cx-2%7C%2B%7Cx%2B2%7C)
- решили ранее(подходит)
<em>Ответ: при а=-1 и а=3</em>