а) n-ый член геометрической прогрессии ищется по формуле:
![b_n=b_1q^{n-1}](https://tex.z-dn.net/?f=b_n%3Db_1q%5E%7Bn-1%7D)
Тогда пятый член этой прогрессии равен:
![b_5=b_1q^4=125\cdot \bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^4=\dfrac{1}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=b_5%3Db_1q%5E4%3D125%5Ccdot%20%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cbigg%29%5E4%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D)
б) Аналогично по формуле n-го члена геом. прогрессии вычисляем девятый член прогрессии:
![b_9=b_1q^8=100000\cdot \bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^8=0.256](https://tex.z-dn.net/?f=b_9%3Db_1q%5E8%3D100000%5Ccdot%20%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cbigg%29%5E8%3D0.256)
в) Сумма первых n членов геометрической прогрессии ищется по следующей формуле:
![S_n=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}](https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%5Cdfrac%7Bb_1%281-q%5En%29%7D%7B1-q%7D)
Тогда сумма первых восьми членов этой прогрессии равна:
![S_8=\dfrac{b_1(1-q^8)}{1-q}=\dfrac{4(1-2^8)}{1-2}=\boxed{1020}](https://tex.z-dn.net/?f=S_8%3D%5Cdfrac%7Bb_1%281-q%5E8%29%7D%7B1-q%7D%3D%5Cdfrac%7B4%281-2%5E8%29%7D%7B1-2%7D%3D%5Cboxed%7B1020%7D)
г) Аналогично с в) по формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии вычисляем сумму первых пяти членов этой прогрессии:
![S_5=\dfrac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\dfrac{6(1-4^5)}{1-4}=\boxed{2046}](https://tex.z-dn.net/?f=S_5%3D%5Cdfrac%7Bb_1%281-q%5E5%29%7D%7B1-q%7D%3D%5Cdfrac%7B6%281-4%5E5%29%7D%7B1-4%7D%3D%5Cboxed%7B2046%7D)
д) Предполагается, что нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
![S=\dfrac{b_1}{1-q}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cdfrac%7Bb_1%7D%7B1-q%7D)
Тогда
А) -36; - 12; -4;
![q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{-12}{-36}=\dfrac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=q%3D%5Cdfrac%7Bb_2%7D%7Bb_1%7D%3D%5Cdfrac%7B-12%7D%7B-36%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D)
Сумма бесконечно уб. г.п. ![S=\dfrac{-36}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{-36\cdot 3}{3-1}=\boxed{-54}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cdfrac%7B-36%7D%7B1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B-36%5Ccdot%203%7D%7B3-1%7D%3D%5Cboxed%7B-54%7D)
Б) ![q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{18}{-54}=-\dfrac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=q%3D%5Cdfrac%7Bb_2%7D%7Bb_1%7D%3D%5Cdfrac%7B18%7D%7B-54%7D%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D)
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
![S=\dfrac{-54}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{-54\cdot3}{3+1}=\boxed{-40.5}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cdfrac%7B-54%7D%7B1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B-54%5Ccdot3%7D%7B3%2B1%7D%3D%5Cboxed%7B-40.5%7D)
e) используя n-ый член геометрической прогрессии, рассмотрим пятый член этой прогрессии:
![b_5=b_1q^4=\underbrace{b_1q^2}_{b_3}\cdot q^2=b_3q^2~~~\Leftrightarrow~~ q=\pm\sqrt{\dfrac{b_5}{b_3}}=\pm\sqrt{\dfrac{0.45}{0.05}}=\pm3](https://tex.z-dn.net/?f=b_5%3Db_1q%5E4%3D%5Cunderbrace%7Bb_1q%5E2%7D_%7Bb_3%7D%5Ccdot%20q%5E2%3Db_3q%5E2~~~%5CLeftrightarrow~~%20q%3D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bb_5%7D%7Bb_3%7D%7D%3D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B0.45%7D%7B0.05%7D%7D%3D%5Cpm3)
Так как по условию q>0, то q=3
![b_1=\dfrac{b_5}{q^4}=\dfrac{0.45}{3^4}=\dfrac{0.05}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=b_1%3D%5Cdfrac%7Bb_5%7D%7Bq%5E4%7D%3D%5Cdfrac%7B0.45%7D%7B3%5E4%7D%3D%5Cdfrac%7B0.05%7D%7B9%7D)
Сумма первых восьми членов этой прогрессии равна:
![S_8=\dfrac{b_1(1-q^8)}{1-q}=\dfrac{0.05(1-3^8)}{9(1-3)}=\boxed{\dfrac{164}{9}}](https://tex.z-dn.net/?f=S_8%3D%5Cdfrac%7Bb_1%281-q%5E8%29%7D%7B1-q%7D%3D%5Cdfrac%7B0.05%281-3%5E8%29%7D%7B9%281-3%29%7D%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac%7B164%7D%7B9%7D%7D)
А) 2х²-9х+4=0
D=(-(-9))²-4×2×4=81-32=49
x1=(-(-9)-√49)/2×2=(9-7)/4=(2/4)=(1/2)
x2=(-(-9)+√49)/2×2=(9+7)/4=16/4=4.
x1=(1/2); x2=4.
Б) 5х+2 = 2-2х²
5x+2-2+2x²=0
2x²+5x=0
x(2x+5)=0
x1=0
2x2+5=0
2x2=-5|÷2
x2=-2,5
x1=0; x2=-2,5.
В) х²-6х=4х-25
x²-6x-4x+25=0
x²-10x+25=0
(х-5)²=0
х-5=0
х=5
Г) (6-х)(5х+40)=0
30х+240-5х²-40х=0
-5х²-10х+240=0|×(-1)
5х²+10х-240=0
D=(-10)²-4×5×(-240)=100+4800=4900
x1=(-10-√4900)/2×5=(-10-70)/10=(-80/10)=-8
x2=(-10+√4900)/2×5=(-10+70)/10=60/10=6
x1=-8; x2=6.
Д) х/(2х+6)=2/х|×((x×(2x+6)¥0)
¥-знак не равно
х1¥0
2х2+6¥0
2х2¥-6|÷2
х2¥-3
x1¥0; x¥-3.
х²=2×(2х+6)
х²=4х+12
х²-4х-12=0
По теореме Виета:
х1+х2=-(-4)=4
х1×х2=-12
х1=-2
х2=6
можно через дескрименант.
D=(-(-4))²-4×1×(-12)=16+48=64
x1=(-(-4)-√64)/2×1=(4-8)/2=-(4/2)=-2
x2=(-(-4)+√64)/2×1=(4+8)/2=12/2=6
x1=-2; x2=6.