Cos^2=1-sin^2
<span>cos^2 = (1 + cos 2) / 2,</span>
АВСД прямоугольник
АС=ВД (диагонали)
диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
О - точка пересечения диагоналей
<АОВ+<АОД=180 (смежные)
х - коэффициент пропорциональности
<AOВ=2х
<АОД=7х
2х+7х=180°, 9х=180°, х=20°
<АОВ=40°, <AOД=140°
ΔАОВ: АО=ВО, <AOB=40°, => <OAB=(180°-40°):2
<OAB=70°
ΔАОД: АО=ДО, <АОД=140, => <ОАД=(180°-140°):2, <OAД=20°
ответ: диагональ образует со сторонами прямоугольника углы 20° и 70°
a) Пусть Середины ребер AC и BC - Соответственно D и E .
DE - очевидно 3 , поэтому надо доказать что апофемы пирамиды MD и ME тоже равны трем.
Рассмотрим треугольник AME . Он по условию прямоугольный с прямым углом M ( MA перпендикулярно MBC )
Высота MO Проецируется в центр основания ABC ( пирамида правильная )
AE = 6√3/2 = 3√3
AO=2√3
EO = √3
пусть высота MO - h
тогда по теореме Пифагора
h^2+(√3)^2+h^2+(2√3)^2=(3√3)^2
Откуда h=√6
ME^2 = h^2+3
ME=3
Доказано.
б) Пусть С - начало координат
Ось X - CA
Ось Y - перпендикулярно X в сторону B
Ось Z - перпендикулярно ABC в сторону M
Координаты Точек
D(3;0;0)
E(3/2;3√3/2;0)
M(3;√3;√6)
Уравнение плоскости DEM
ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек
3a+d=0
3a/2+3√3b/2+d=0
3a+√3b+√6c+d=0
Пусть d= -6 Тогда a=2 b=2/√3 c= - 2/√6
2x+ 2y/√3 - 2z/√6 - 6 =0
k=√ (4+4/3+4/6) = √6
Нормализованное уравнение
2x/√6+ 2y/(√3√6) - 2z/(√6√6) - 6/√6 =0
Расстояние от С (начала координат) до Плоскости DEM Равно
6/√6 = √6
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть неизвестная сторона z, медиана к 12 - 3y, к 9 - 3x.
Медианы делят стороны пополам, на 6 и 4,5. Начертим и получим, что 6 - гипотенуза в треугольнике с катетами 2x и y, а 4,5 - гипотенуза в треугольнике с катетами x и 2y. Наша неизвестная сторона z - гипотенуза в треугольнике с катетами 2x и 2y.
![(2x)^2+y^2=36\\y^2=4(9-x^2)\\\\ x^2+(2y)^2=(\frac{9}{2})^2\\x^2+4\cdot4(9-x^2)=\frac{81}{4}\\-15x^2=81/4-144=-495/4\\x^2=33/4 \\y^2=4(9-x^2)=3\\z^2=(2x)^2+(2y)^2=4(x^2+y^2)=45\\z=3\sqrt{5}](https://tex.z-dn.net/?f=%282x%29%5E2%2By%5E2%3D36%5C%5Cy%5E2%3D4%289-x%5E2%29%5C%5C%5C%5C%0Ax%5E2%2B%282y%29%5E2%3D%28%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%29%5E2%5C%5Cx%5E2%2B4%5Ccdot4%289-x%5E2%29%3D%5Cfrac%7B81%7D%7B4%7D%5C%5C-15x%5E2%3D81%2F4-144%3D-495%2F4%5C%5Cx%5E2%3D33%2F4%0A%5C%5Cy%5E2%3D4%289-x%5E2%29%3D3%5C%5Cz%5E2%3D%282x%29%5E2%2B%282y%29%5E2%3D4%28x%5E2%2By%5E2%29%3D45%5C%5Cz%3D3%5Csqrt%7B5%7D)