Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-2;1),С(-4;-5). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Выведем уравнение для стороны AD: сторона AD параллельна стороне BC, т.е. имеет тот же угол наклона: y=-x+b по координатам точки A определим b: 2=1+b b=1
y=-x+1 - уравнение стороны AD
Выведем уравнение для высоты BK: сторона AD имеет угол наклона arctg(-1)=135 градусов высота BK имеет угол наклона 135-90=45 градусов: y=x*tg45+b у=х+b по координатам точки В определим b: 3=1+b b=2
y=x+2 - уравнение высоты BK
определим координаты точки пересечения AD и BK (точки K): -x+1=x+2 2x=-1 x=-1/2=-0,5 y=-0,5+2=1,5 вычислим длину высоты BK (примечание: sqrt - квадратный корень): BK=sqrt((3-1,5)^2+(1+0,5)^2)= sqrt(1,5^2+1,5^2)=sqrt(2,25+2,25)=sqrt(4,5)
Выведем уравнение для стороны AB:
2=-k+b 3=k+b
2b=5 k=3-b
b=5/2 k=1/2
b=2,5 k=0,5
y=0,5x+2,5 - уравнение стороны AB
вычислим угол ABK: BK имеет угол наклона 45 градусов AB имеет угол наклона arctg(0,5) tg(ABK)=tg(45-arctg(0,5))=(tg45+tgarctg(0,5))/(1-tg45*tgarctg(0,5))=(1+0,5)/(1-0,5)=3 угол ABK составляет arctg3 градусов
Выведем уравнение для диагонали BD: диагональ BD имеет угол наклона (90+arctg3) градусов: y=x*tg(90+arctg3)+b по координатам точки B определим b: 3=tg(90+arctg3)+b b=3-tg(90+arctg3)
