Х(в)= -b/(2a) = -1/(-2)=1/2 — где "в" - вершина.
Ветви параболы направлены вниз.
При х < 1/2 функция возрастает
√(x-9)=3-ax-7a
{x>=9
{3-ax-7a>=0
Возводя в квадрат обе части
x-9=(3-ax-7a)^2
x-9=(3-a(x+7))^2
x-9=9-6a(x+7)+a^2(x+7)^2
18-6ax-x-42a+a^2x^2+14xa^2+49a^2=0
a^2x^2+x(14a^2-6a-1)+(49a^2-42a+18)=0
D=(14a^2-6a-1)^2-4a^2(49a^2-42a+18)=(1-4a)(16a+1)
x1= ((1+6a-14a^2)+√((1-4a)(16a+1)))/(2a^2)
x2= ((1+6a-14a^2)-√((1-4a)(16a+1)))/(2a^2)
1)
При a=1/4 уравнение не имеет решений так как, правая часть
3-ax-7a<0 , при a=-1/16 уравнение имеет одно решение
2)
Проверим правую часть,при x1, подставляя
3-a*((1+6a-14a^2)+√((1-4a)(16a+1)))/(2a^2) - 7a > 0
-a(√(4a(3-16a)+1)+1)>=0
{-a>0
{√(4a(3-16a)+1)>=0
{a<0
{(1-4a)(1+16a)>=0
{a<0
{a=<-1/16
3) Проверяя для x2 , аналогично получаем
(√((16a+1)(1-4a))-1)/(2a)>=0
Если
{a<0
{√((16a+1)(1-4a))<=1
Если
{a>0
{√((16a+1)(1-4a))>=1
откуда
-1/16<=a<0
0<a<=3/16
4) Объединяя получаем что , минимальное a=-1/16 , максимальное a=3/16
S = 3/16+(-1/16) = 1/8
10*8=80 сумма восьми чисел
80-3=77 новая сумма семи чисел
77:7=11 среднее арифметическое нового ряда
Понизим степень косинуса с помощью формулы косинуса двойного угла:
![cos2 \alpha =2cos^2 \alpha -1 \\ \\ cos^2 \alpha = \frac{1}{2} (cos2 \alpha +1)](https://tex.z-dn.net/?f=cos2%20%5Calpha%20%3D2cos%5E2%20%20%5Calpha%20-1%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20cos%5E2%20%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%28cos2%20%5Calpha%20%2B1%29)
В результате можно будет воспользоваться табличным интегралом от косинуса и степенной функции.
![\int\limits^{ \pi/2}_{- \pi/2} { cos^2 2x} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi/2}_{- \pi/2} { (cos 4x+1) } \, dx = \\ \\ =\frac{1}{2} \int\limits^{ \pi/2}_{- \pi/2} { cos 4x} \, dx + \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi/2}_{- \pi/2} { } \, dx = \\ \\ = \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi/2}_{- \pi/2} { \frac{1}{4} cos 4x} \, d(4x) + \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi/2}_{- \pi/2} { } \, dx =](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E%7B%20%5Cpi%2F2%7D_%7B-%20%5Cpi%2F2%7D%20%7B%20cos%5E2%202x%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%5Climits%5E%7B%20%5Cpi%2F2%7D_%7B-%20%5Cpi%2F2%7D%20%7B%20%28cos%204x%2B1%29%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%5Climits%5E%7B%20%5Cpi%2F2%7D_%7B-%20%5Cpi%2F2%7D%20%7B%20cos%204x%7D%20%5C%2C%20dx%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%5Climits%5E%7B%20%5Cpi%2F2%7D_%7B-%20%5Cpi%2F2%7D%20%7B%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%5Climits%5E%7B%20%5Cpi%2F2%7D_%7B-%20%5Cpi%2F2%7D%20%7B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20cos%204x%7D%20%5C%2C%20d%284x%29%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%5Climits%5E%7B%20%5Cpi%2F2%7D_%7B-%20%5Cpi%2F2%7D%20%7B%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D)
![= \frac{1}{8} sin4x|^{ \pi/2}_{- \pi/2} + \frac{1}{2} x|^{ \pi/2}_{- \pi/2} = \\ \\ = \frac{1}{8} (sin4 \frac{\pi}{2} -sin4\frac{-\pi}{2} ) + \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} -\frac{-\pi}{2} ) = \\ \\ \frac{1}{8} (sin2 \pi -sin(-2 \pi) ) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20sin4x%7C%5E%7B%20%5Cpi%2F2%7D_%7B-%20%5Cpi%2F2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%7C%5E%7B%20%5Cpi%2F2%7D_%7B-%20%5Cpi%2F2%7D%20%3D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20%28sin4%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20-sin4%5Cfrac%7B-%5Cpi%7D%7B2%7D%20%29%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20-%5Cfrac%7B-%5Cpi%7D%7B2%7D%20%29%20%3D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20%28sin2%20%5Cpi%20-sin%28-2%20%5Cpi%29%20%29%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)