Question

(решить подробно)

Answer 1

1)
$\lg^2x-2\lg x=\lg^23-1;D(f):x>0,\ \ x\in(0; +\infty)\\ \lg x(\lg x-2)=(\lg 3-1)(\lg 3+1);$
$)))): \lg x-(\lg x-2)=(\lg3+ 1)-(\lg3-1)=2;\\ \left \{ {{\lg x=\lg 3+1} \atop {\lg x-2=\lg3-1}} \right. \\ \lg x=\lg3+1=\lg 3+\lg10=\lg\left(3\cdot10\right)=\lg30;\\ x=30;$
проверим ответ
$\lg^230-2\lg30=(\lg10+\lg3)^2-2(\lg3+\lg10)=\\ =(\lg3+1)^2-2(\lg3+1)=\lg^23+2\lg3+1-2\lg3-2=\lg^23-1$
ответ удовлетворяет

2)
$\log_{0,5}^2(4x)+\log_{2}(\frac{x^2}{8})=8;\\ D(f):x>0;\ x\in(0;+infty)$
$\left|\frac{\ln(4x)}{\ln(0,5)}=\frac{\ln(4x)}{\ln(\frac{1}{2})}=\frac{\ln(4x)}{\ln(2^{-1})}=-1\cdot\frac{\ln(4x)}{\ln(2)}=-\log_{2}(4x);\right|=\\ (-\log_{2}(4x))^2+\log_{2}(\frac{x^2}{8})=8;\\ \log_{2}^{2}(4x)+\log_{2}(\frac{x^2}{8})=8;\\ \left(\log_2x+\log_24\right)^2+\left(\log_2x^2-\log_{2}8\right)=8;\\ (\log_2x+2\log_22)^2+2\log_2x-3\log_22=8;\\ (\log_2x+2)^2+2\log_2x-3=8;\\ \log_2^2x+4\log_2x+4+2\log_2x-3-8=0;\\ \log_2^2x+6\log_2x-7=0;\\ t=\log_2x;$
$t^2+6t-7=0;\\ D=6^2+4\cdot1\cdot(-7)=36+28=64=8^2;\\ t_1=\frac{-6-8}{2}=-7;\\ t_2=\frac{-6+8}{2}=1;\\ \log_2x_1=-7=\log_22^{-7};\ x_1=2^{-7}=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}=(128)^{-1}=0,0078125;\\ \log_2x_2=1;\ x_2=2^1=2;\\ x=\frac{1}{128};2;$

3)
$\log_2^2(x^5)-5\log_2(x^3)=10;\\ D(f):x>0,\ \ x\in(0;+\infty)$
$(\log_2x^5)^2-5\log_2x^3=10;\\ (5\log_2x)^2-5\cdot3\log_2x=10;\\ 25\log_2^2x-15\log_2x-10=0;\\ \log_2x=t;\\ 25t^2-15t-10=0;\\ D=(-15)^2-4\cdot25\cdot(-10)=225+1000=1225=35^2;\\ t_1=\frac{15-35}{50}=-\frac{2}{5};\ x_1=2^{-\frac{2}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{2^2}}=\frac{1}{\sqrt[5]{2}}\\ t_2=\frac{15+35}{50}=1;\ x_2=2^1=2;\\ x=\frac{1}{\sqrt[5]{4}};\ \ 2;$