У меня был подобный опыт. Не совсем просила влиятельного человека устроить меня на работу, просто не поладила с новым начальником, написала заявление, он подписал с отработкой. У меня появилось время закончить на работе кое-какие незавершенные дела, сделала отчет - понесла на согласование влиятельному человеку, сказала, что решила уволиться. Он посоветовал мне забрать заявление и немного подождать, дескать, устроит меня на хорошую работу. Я, скрепя сердце, послушалась совета умного человека, забрала заявление (начальник был доволен, что я забрала заявление). Где-то через полгода меня пригласили по рекомендации влиятельного человека на очень хорошую работу, и я ушла со старой в порядке перевода.
Так что могу посоветовать: если у вас есть влиятельный знакомый, для начала поделитесь с ним своими проблемами, и посмотрите на его реакцию. Если заинтересуется, посочувствует - можно попросить посодействовать, а может быть повезет, как мне, и он сам предложит помощь.
Кстати, хочу предупредить, что работать по рекомендации высокопоставленного чиновника не так уж и легко - надо оправдать доверие, не подвести человека, так что правильно рассчитайте свои силы. Я с этим справилась и нисколько не жалею, что приняла это предложение. Своему рекомендателю подарила по-дружески бутылку хорошего коньяка.