Question

Найдите уравнение общей касательной к графикам функций F(x)=x^2+3x+5 и g(x)=x^2+4x-3

Answer 1

1)
F(x)=x²+3x+5
F '(x)=2x+3
Пусть a - абсцисса точки касания

F(a)=a²+3a+5
F ' (a)=2a+3

y₁=a²+3a+5+(2a+3)(x-a)=a²+3a+5+2ax+3x-2a²-3a=
  =x(2a+3)+(-a²+5) - уравнение касательной.

2) g(x)=x²+4x-3
    g ' (x)=2x+4

Пусть c - абсцисса точки касания.
g(c)=c²+4c-3
g ' (c)=2c+4

y₂= c²+4c-3+(2c+4)(x-c)=c²+4c-3+2cx+4x-2c²-4c=
   = x(2c+4)+(-c² -3) - уравнение касательной.

3) Так как касательная общая, то
{2a+3=2c+4        {2a-2c=4-3        {2(a-c)=1    {a-c=1/2
{-a²+5= -c²-3       {c²-a²= -3-5       {a² - c² =8    {(a-c)(a+c)=8

{a-c=1/2                   {a-c=1/2
{(1/2)*(a+c)=8          {a+c=16

Складываем уравнения системы:
2a=16+ (1/2)
2a=33/2
a=33/4

33/4 -c=1/2
c=33/4 - 1/2
c=31/4

y=(2 * (³³/₄) + 3)x + (5 - (³³/₄)²) = (³³/₂ + 3)x +(5 - ¹⁰⁸⁹/₁₆)=
   =³⁹/₂ x - ¹⁰⁰⁹/₁₆=19.5x-63.0625
y=19.5x - 63.0625 - общая касательная 

Ответ: у=19,5х - 63,0625