1) При a = -1/2 уравнение имеет вид
(1/2)х-(5/2)=0
х=5 - целый корень.
2) При а ≠ (-1/2) решаем квадратное уравнение
(2a+1)x^2 -аx + a-2 = 0
D = (-а)² - 4·(2а+1)(а-2) = - 7a²+12а+8
Если D≥0 уравнение имеет корни
- 7a²+12а+8 ≥0
-7(a-a₁)(a-a₂) ≥0 или (a-a₁)(a-a₂) ≤0
при a₁≤a≤a₂ ,
где а₁=(12-√368)/14=(6-√92)/7≈-0,51; а₂=(12+√368)/14=(6+√92)/7≈2,22 уравнение имеет корни
x₁ = (а - √(- 7a²+12а+8)) / (4a+2)
x₂ = (а +√(- 7a²+12а+8)) / (4a+2)
По условию оба эти корня должны быть целыми, то есть:
дискриминант не может быть числом иррациональным.
1) D = (- 7a²+12а+8) должен быть квадратом.
Если построить график u=-7а²+12а+8 на (-0,51;2,22), то u ∈ (0; 10,5)- множество значений дискриминанта.
На интервале (0; 10,5) точные квадраты:
1; 4; 9
Решаем уравнения
D=1 или - 7a²+12а+8=1
D=4 или - 7a²+12а+8=4
D=9 или - 7a²+12а+8=9
Может быть можно проверить и дробно-рациональные квадраты?
D=1,21
D=1,44
и т.д.
При а = 2 дискриминант будет точным квадратом D = 4,
уравнение принимает вид
5х²-2х=0
x₁=0 ; х₂=0,4
как видим, второй корень - рациональный.
Ответ. при а=-1/2
А) 9a^2-16b^4 = (3a-4b^2)(3a+4b^2)
Б) <span>(3x-1)^2=(x+3)^2
9x^2-6x+1=x^2+6x+9
</span><span>9x^2-6x+1-x^2-6x-9=0
</span>8x^2-12x-8=0 - разделим на 4:
2x^2-3x-2=0
D=9-4*2*(-2)=25
x1 = (3-5)/4 = -0,5
x2 = (3+5)/4=2
Ответ: x1=-0,5; x2=2
6а+13xb-6b-13xa=(6a-6b)(13xb-13xa)=6(a-b)×(-13x)(b-a)=<u>(6-13x)(a-b)</u>
0,6^x-4*0,3^x+0,5^(x-2)>=1
перепишем в обыкновенных дробях и заметим что (3/10)^x = (3/5)^x * (1/2)^x
1 = 2^x/2^x = 2^x*(1/2)^x = 2^x*2^-x
и перенесем 1 как 2^x * 2^-x в левую часть
(3/5)^x - 4*(3/10)^x + 4(1/2)^x - 2^x*2^-x >= 0
(1/2)^x * ( 2^x*(3/5)^x - 4*(3/5)^x + 4 - 2^x) >=0
(1/2)^x ( (2^x)((3/5)^x - 1) - 4((3/5)^x - 1)) >=0
(1/2)^x*(2^x - 4) ((3/5)^x - 1) >=0
решаем по методу интервалов отбросим (1/2)^x оно всегда положительно
(2^x - 4) ((3/5)^x - 1) >=0
------------- [0] ++++++++ [2] --------------
x∈[0 2]