Question

Найдите все значения y, удовлетворяющие условию y > ½ , такие, что неравенство16y^3+6y^3x-4y^3x^2-50y^2-11y^2x+10y^2x^2+52y+4

Найдите все значения y, удовлетворяющие условию y > ½ , такие, что неравенство

16y^3+6y^3x-4y^3x^2-50y^2-11y^2x+10y^2x^2+52y+48yx-8yx^2-18+x+2x^2>0

выполняется при всех x из интервала 1 < x < 2y.

Answer 1

Приводим левую часть к виду канонического квадратного трехчлена относительно х:

Аx^2 - Bx - C мен 0   (группировкой необходимых членов и последующим делением на (-1)), где:

А = 4y^3 - 10y^2 + 8y - 2, 

B = 6y^3 - 11y^2 + 48y + 1,

C = 16y^3 -50y^2 + 52y - 18.

Коэффициенты А и С раскладываются на множители:

А = 2(2y-1)(y-1)^2,

C = 2(8y-9)(y-1)^2.

 При у = 1 левая часть минимизируется к виду:  Вх бол 0.

х бол 0 по условию, коэффициент В также больше 0 ( В(у=0) бол 0 и ф-ия В(у) - монотонно возрастающая - Вштрих бол 0). В(у=1) = 44.

Итак у=1 -  первое(тривиальное) решение нашего неравенства (оно выполняется вообще для всех положительных х)

Пусть теперь у не равен 1.

Видим, что при у бол 1/2  коэфф. А больше 0.

Значит на него можно поделить, не меняя знак неравенства.

x^2 - (B/A)x - (8y-9)/(2y-1) мен 0.

Проанализируем: Для того, чтобы решением неравенства был интервал

(1; 2у) необходимо, чтобы левая часть имела корни, и они равнялись бы 1 и 2у.

Произведение корней, равное 2у (бол 0), равно   -(8y-9)/(2y-1), то есть очевидно ОДЗ для у: у прин(1/2; 9/8).

Найдем корни: (удобнее находить через произведение корней, т.к. через сумму - громоздкие вычисления).

(9-8у)/(2у-1) = 2у

4y^2 + 6y - 9 = 0   D = 36+144 = 180, входит в ОДЗ только один корень:

у = [(3кор5) - 3] /4. 

 

Ответ:  у = 1;  у =  [(3кор5) - 3] /4