1-ое уравнение. Оно прям разложено так, как надо для решения в целых числах. Оно имеет вид ![ab=1;](https://tex.z-dn.net/?f=ab%3D1%3B)
Значит, либо a=1, b=1 либо a=-1, b=-1.
Будем отталкиваться от первой скобки
![x-2=1; x=3; 3y+4=1; y=-1](https://tex.z-dn.net/?f=x-2%3D1%3B%20x%3D3%3B%203y%2B4%3D1%3B%20y%3D-1)
Получили решение (3;-1)
![x-2=-1; x=1; y+4=-1; y=-5](https://tex.z-dn.net/?f=x-2%3D-1%3B%20x%3D1%3B%20y%2B4%3D-1%3B%20y%3D-5)
Получили решение (-1;-5)
Всего 2 решения.
Ответ: (3;-1); (-1;-5)
2-е уравнение. ![y+x-xy=0; y(1-x)+(1-x)-1+2x=0;(1-x)(y+1)=1-2x;\\ y+1=\frac{1-2x}{1-x}; y=\frac{1-x-x}{1-x}-1=1-\frac{x}{1-x}-1=-\frac{x}{1-x}=\frac{x}{x-1}](https://tex.z-dn.net/?f=y%2Bx-xy%3D0%3B%20y%281-x%29%2B%281-x%29-1%2B2x%3D0%3B%281-x%29%28y%2B1%29%3D1-2x%3B%5C%5C%20y%2B1%3D%5Cfrac%7B1-2x%7D%7B1-x%7D%3B%20y%3D%5Cfrac%7B1-x-x%7D%7B1-x%7D-1%3D1-%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-x%7D-1%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-x%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx-1%7D)
Вообще занимательная зависимость. Здесь x≠1 - естественное ограничение. Нужно найти такие x∈Z, что y∈Z.
. Занятно, ведь здесь все определяет 2-ое слагаемое. Очевидно, что целое число здесь может получиться только, когда в знаменателе ±1, ведь делители единицы это она и есть сама (с "+" и с "-").
x-1=±1;
x=0 или x=2
При x=0 получаем y=0 (подставили в полученную для у формулу), а при x=2 получаем y=2 (аналогично)
Вообще эти 2 решения видно с самого начала. Нулевое просто заметить и подставить, а про двойки всем известно, что их сумма равна их произведению (2+2=2*2)
Так что ответ: (0;0), (2;2)
3-е уравнение.
![y-x-xy=2; y(1-x)+(1-x)=3; (1-x)(y+1)=3;](https://tex.z-dn.net/?f=y-x-xy%3D2%3B%20y%281-x%29%2B%281-x%29%3D3%3B%20%281-x%29%28y%2B1%29%3D3%3B)
Здесь произведение скобок дает 3. Делители 3 - это ±1; ±3.
Получаем варианты: 1*3=3; (-1)*(-3)=3; 3*1=3; (-3)*(-1)=3.
Решаем:
1. ![\left \{ {{1-x=1} \atop {y+1=3}} \right. ; \left \{ {{x=0} \atop {y=2}} \right. ; (0;2)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B1-x%3D1%7D%20%5Catop%20%7By%2B1%3D3%7D%7D%20%5Cright.%20%3B%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D0%7D%20%5Catop%20%7By%3D2%7D%7D%20%5Cright.%20%3B%20%280%3B2%29)
2. ![\left \{ {{1-x=-1} \atop {y+1=-3}} \right. ;\left \{ {{x=2} \atop {y=-4}} \right. ; (2;-4)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B1-x%3D-1%7D%20%5Catop%20%7By%2B1%3D-3%7D%7D%20%5Cright.%20%3B%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D2%7D%20%5Catop%20%7By%3D-4%7D%7D%20%5Cright.%20%3B%20%282%3B-4%29)
3. ![\left \{ {{1-x=3} \atop {y+1=1}} \right. ;\left \{ {{x=-2} \atop {y=0}} \right. ; (-2;0)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B1-x%3D3%7D%20%5Catop%20%7By%2B1%3D1%7D%7D%20%5Cright.%20%3B%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D-2%7D%20%5Catop%20%7By%3D0%7D%7D%20%5Cright.%20%3B%20%28-2%3B0%29)
4. ![\left \{ {{1-x=-3} \atop {y+1=-1}} \right.;\left \{ {{x=4} \atop {y=-2}} \right. ;(4;-2)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B1-x%3D-3%7D%20%5Catop%20%7By%2B1%3D-1%7D%7D%20%5Cright.%3B%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D4%7D%20%5Catop%20%7By%3D-2%7D%7D%20%5Cright.%20%3B%284%3B-2%29)
Проверив решения, получаем ответ: (0;2), (2;-4), (-2;0), (4;-2).
И 4-е уравнение. ![y+4x+2xy=0; y+2x+2x+2xy=0; y(1+2x)+(1+2x)-1+2x=0; \\ (1+2x)(y+1)=1-2x; y+1=\frac{1-2x}{1+2x}; y=\frac{1+2x-4x}{1+2x}-1=1-\frac{4x}{1+2x}-1=\\ =-\frac{4x}{1+2x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%2B4x%2B2xy%3D0%3B%20y%2B2x%2B2x%2B2xy%3D0%3B%20y%281%2B2x%29%2B%281%2B2x%29-1%2B2x%3D0%3B%20%5C%5C%20%281%2B2x%29%28y%2B1%29%3D1-2x%3B%20y%2B1%3D%5Cfrac%7B1-2x%7D%7B1%2B2x%7D%3B%20y%3D%5Cfrac%7B1%2B2x-4x%7D%7B1%2B2x%7D-1%3D1-%5Cfrac%7B4x%7D%7B1%2B2x%7D-1%3D%5C%5C%20%20%20%20%3D-%5Cfrac%7B4x%7D%7B1%2B2x%7D)
![y=-\frac{1+2x+2x-1}{1+2x}=-(1+\frac{2x-1}{2x+1})=-(1+\frac{2x+1-2}{2x+1})=-(2-\frac{2}{2x+1} )=\\ =\frac{2}{2x+1}-2](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D-%5Cfrac%7B1%2B2x%2B2x-1%7D%7B1%2B2x%7D%3D-%281%2B%5Cfrac%7B2x-1%7D%7B2x%2B1%7D%29%3D-%281%2B%5Cfrac%7B2x%2B1-2%7D%7B2x%2B1%7D%29%3D-%282-%5Cfrac%7B2%7D%7B2x%2B1%7D%20%29%3D%5C%5C%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B2x%2B1%7D-2)
Все будет определять делимость дроби. В числителе 2, а значит, её делители ±1; ±2.
2x+1=±2 не будет иметь целочисленных решений, там при переносе 2x=нечетное число.
А вот 2x+1=±1 как раз будет иметь целочисленные решения.
2x+1=1; 2x=0; x=0 ⇒ y=0 (подставили в полученную для у формулу)
2x+1=-1; 2x=-2; x=-1 ⇒ y=-4 (аналогично)
Ответ: (0;0), (-1;-4)