Question

Уравнение x!y! = x! + y! + z!. Как решить его в натуральных числах?

x!y! = x! + y! + z!

Все три величины: x, y, z — должны быть натуральными числами. Восклицательный знак, естественно, обозначает факториал; в левой части формально опущен, но подразумевается знак умножения.

Answer 1

х!у! =х! +у! +z!

Пусть у>х, тогда:

у! =к*х!, где к-натуральное число

(например 5!=5*4! или

6!=30*4!).

Тогда имеем уравнение:

к*х!^2-(к+1)х!-z!=0

D=k^2+2k+1+4kz!

D=k^2+(4z!+2)k++1

D>0,здесь формально 2 корня.

Найдем корни и видно что один корень отпадет так как он отрицателен.

Останется корень:

х!=

=(к+1+L(k^2+(4z!+2)k­<wbr />+1))/2 (формула 1)

Здесь L-символ квадратного корня.

Проверим формулу на ответе для х, у и z, который дал автор Грустный Роджер

Если х=у=3,а z=4,то:

к=1 и :

3!=(1+1+L(1+(4*24+2)­<wbr />+1)):2

3!=(2+L100)/2=(2+10)­<wbr />/2=6

3!=6

6=6

В общем формула верна.

Но надо учесть что слева не просто х, а х!.

Что дальше ? Не знаю.

Подбором.

Ну, например к=2,имеем :

х! =(3+L(4+1+2*(4z!+2))­<wbr />/2

x!=(3+L(5+8z!+4))/2

x!=(3+L(9+8z!))/2

Число под знаком корня оканчивается цифрой 9.((если предположить что

z больше или равно 5) , при z<5 можно проверить, что такой корень есть при z=2,и получается х! =4,но вот только х! не может быть равным 4,то есть ложный вариант)

Теперь далее:

Можно перебрать все варианты и будет видно что при х, у, z меньших 5, одно решение, которое привел Грустный Роджер.

Но , если х больше или равен 5,то последняя цифра х! это 0.

В случае с к=2,получается что х! оканчивается на цифру (3+...9)/2=..6

То есть нет решения

х! у! =х! +у! +z! при к=2

Вот как-то так.

РS:понимаю, что ничего толком не написал, так общие рассуждения.

Answer 2

пусть y! = k x!; z! = m x!

Обозначив a = x! получаем

k a^2 = a + k a + m a

k a^2 - (1 + k + m)a = 0

Чисто формально корень а=0 не криминален. По определению ноль-факториал равен единице. В этом случае у - любое, а z=z! = -1. Но это вне пределов натуральных чисел.

Остаётся второй корень

a = (1 + k + m)/k = 1 + (1+m)/k

чисто для примера:

z=10; y=8; x = 5

k = 6*7*8; m = 6*7*8*9*10

m делится на k нацело, а значит (1+m)/k не будет содержать дробной части 1/k только в случае k=1. x=y.

Получили a = 2 + z!/a

a^2 - 2a - z! = 0

a = 1 +- sqrt(1+z!^2)

Отрицательный корень отбрасываем.

Дальше, наверно, только перебором z до первого корня, который появляется при z=4, тогда a=x!=6

x=y=3.

Answer 3

Одно решение тут видно сразу: x=y=3, z=4.

Насчёт того, является ли оно единственным... Фиг знает, но интуитивно - вряд ли. Ведь все остальные числа должны содержать множителем пятёрку (а то и не одну), и чтоб в вот таком уравнении сошлось число нулей - сомнительно.