Question

Докажите, что при любых допустимых значениях ф значение выражения не зависит от ф:

Answer 1

$\frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{1-sin^6 \alpha -cos^6 \alpha } = \frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{1-((sin^2 \alpha )^3+(cos^2 \alpha )^3)} = \\\\=\frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{1-(sin^2 \alpha +cos^2 \alpha )(sin^4 \alpha -sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha +cos^4)} =\\\\= \frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{1-1\cdot ((sin^4 \alpha +2sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha +cos^4 \alpha )-3sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha )} =$

$= \frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{1-((sin^2 \alpha +cos^2\alpha )^2-3sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha )} = \frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{1-(1^2-3sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha )} =\\\\= \frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{1-1+3sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha } = \frac{sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha }{3sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha } =\frac{1}{3}$

 Получили выражение, не зависящее от $\alpha$ .