Question

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=40 и СD= 10 вписан в окружность . диагоналм АС и BD пересекаются в точке К причем угол АКВ = 60 градусов. Найдите радиус окружности , описанной около этого четырехугольника
Помогите пожалуйста

Answer 1

Сохраняя длину хорды CD передвинем ее по нашей окружности таким образом, чтобы она стала параллельна AB. При этом движении угол AKB остается всегда 60°, т.к. он равен полусумме постоянных дуг AB и CD, величина которых не меняется. В результате движения,  треугольники ABK и CDK станут равносторонними, откуда AC=AK+KC=25+16=41 и ∠ACD=60°. Значит, по т. косинусов AD²=AC²+CD²-2AC·CD·cos∠ACD=41²+16²-2·41·16·(1/2)=1281.
Тогда, по т. синусов R=AD/(2sin∠ACD)=√(1281/3)=√427.