Question

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 5 и 2. Окружность, описанная около треугольника ABC, касается основания AD и боковой стороны CD. Найти радиус окружности.

Answer 1

$ABCD-$ трапеция
$w(O;R)$ - описана около Δ $ABC$
$A$ и $C-$ точки касания
$AD=5$
$BC=2$
$R-$ ?

Воспользуемся теоремой о свойстве касательной:
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности,проведенному в точку касания.
$OC$ ⊥ $CD$
$AO$ ⊥ $AD$
Δ $OAD$ и Δ $OCD-$ прямоугольные
$OC=OA$ ( как радиусы)
$OD-$ общая
Δ $OCD=$ Δ $OAD$ (по гипотенузе и острому углу)
Значит $CD=AD=5$
Пусть $\ \textless \ CDA= \alpha,$  тогда $\ \textless \ AOC=180к- \alpha$
Из Δ $AOC:$
$AO=OC=R$
по теореме косинусов:
$AC^2=AO^2+OC^2-2*AO*OC*cos\ \textless \ AOC$
$AC^2=R^2+R^2-2*R*R*cos(180к- \alpha )$
$AC^2=R^2+R^2-2R^2*cos(180к- \alpha )$
$AC^2=2R^2+2R^2*cos \alpha$
с другой стороны из Δ $ACD:$
$AC^2=CD^2+AD^2-2*CD*AD*cos \ \textless \ ADC$
$AC^2=5^2+5^2-2*5*5*cos \alpha$
$AC^2=25+25-50*cos \alpha$
$AC^2=50-50*cos\alpha$

$2R^2+2R^2*cos \alpha=50-50*cos \alpha$
$2R^2(1+cos \alpha )=50(1-cos \alpha )$
$R^2(1+cos \alpha )=25(1-cos \alpha )$
$R^2=\frac{25*(1-cos \alpha) }{1+cos \alpha}$
$R= \sqrt{\frac{25*(1-cos \alpha) }{1+cos \alpha} }$  (1)

$BC$ ║ $AD$
$AO$ ⊥ $AD$
$AO$ ∩ $BC=M$ ⇒ $OM$ ⊥ $BC$
Из C опустим перпендикуляр на сторону AD, т.е.
$CF$ ⊥ $AD$
$AMCF-$ прямоугольник
$AF=MC=1$
Δ $BOC-$ равнобедренный, значит $BM=MC=1$
$AD=AF+FD$
$FD=AD-AF=5-1=4$
Δ $CFD-$ прямоугольный
$cos\ \textless \ CDF= \frac{FD}{CD}$
$cos \alpha = \frac{4}{5}$
 подставим в (1) и получим ответ:
$R= \sqrt{\frac{25*(1- \frac{4}{5} ) }{1+ \frac{4}{5} }}=5* \sqrt{ \frac{1}{5} * \frac{5}{9} }=5* \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$


рисунок  в приложении

Answer 2

Пусть О - центр окружности. Т.к. касательная пересекается с окружностью только в одной точке, то А и С - точки касания. Отсюда AD=DC=5 как отрезки касательных из одной точки. Кроме того, прямая АО, которая пересекает BC в точке F перпендикулярна AD. Значит OF  - высота равнобедренного треугольника BCO, ведь BC||AD. Отсюда F - середина BC. т.е. FC=1. Значит cos∠D=(AD-FC)/DC=(5-1)/5=4/5. Отсюда OC=DC*tg(∠D/2)=DC*√((1-cos∠D)/(1+cos∠D))=5√((1-4/5)/(1+4/5))=5/3.