Находим производную:
![y'=(x-\cos x)'=x'-(\cos x)'=1+\sin x](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%28x-%5Ccos+x%29%27%3Dx%27-%28%5Ccos+x%29%27%3D1%2B%5Csin+x)
Поскольку при всех x выполнено неравенство
, то всегда
. Если производная принимает только неотрицательные значения, то функция (возможно, нестрого) возрастает, минимальные значения на отрезке принимает в левом конце отрезка, максимальные – в правом.
![\displaystyle\min\limits_{x\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]}y(x)=y\left(-\frac\pi2\right)=-\frac\pi2-\cos\left(-\frac\pi2\right)=-\frac\pi2-0=-\frac\pi2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmin%5Climits_%7Bx%5Cin%5Cleft%5B-%5Cfrac%5Cpi2%2C%5Cfrac%5Cpi2%5Cright%5D%7Dy%28x%29%3Dy%5Cleft%28-%5Cfrac%5Cpi2%5Cright%29%3D-%5Cfrac%5Cpi2-%5Ccos%5Cleft%28-%5Cfrac%5Cpi2%5Cright%29%3D-%5Cfrac%5Cpi2-0%3D-%5Cfrac%5Cpi2)
![\displaystyle\max\limits_{x\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]}y(x)=y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi2-\cos\left(-\frac\pi2\right)=\frac\pi2-0=\frac\pi2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmax%5Climits_%7Bx%5Cin%5Cleft%5B-%5Cfrac%5Cpi2%2C%5Cfrac%5Cpi2%5Cright%5D%7Dy%28x%29%3Dy%5Cleft%28%5Cfrac%5Cpi2%5Cright%29%3D%5Cfrac%5Cpi2-%5Ccos%5Cleft%28-%5Cfrac%5Cpi2%5Cright%29%3D%5Cfrac%5Cpi2-0%3D%5Cfrac%5Cpi2)
60*(2/(sqrt3)) = 120/(sqrt3) избавляемся от иррациональности те умножаем на (sqrt3) обе части, получим (120(sqrt3))/3 = 40(sqrt3) sqrt-корень
Y = 3cosx + 2sin^2x - 1
y'= -3sinx + 4sinxcosx = 0
(4cosx - 3)*sinx = 0
cosx = 3/4 | sinx = 0
{т.к. требуется только найти значения функций, можно дополнительно не исследовать точки на локальный максимум/минимум}
1) sinx = 0, cosx = -1 : y = -3 + 0 - 1 = -4
2) sinx = 0, cosx = 1 : y = 3 + 0 - 1 = 2
3) cosx = 3/4, sin^2x = 1 - 9/16 = 7/16 : y = 9/4 + 14/16 - 1 = 17/8
Ответ: минимум: -4, максимум: 17/8
F(x) = x²/(3 - x)
Производная функции:
f'(x) = (2x · (3 - x) - (-1) · x²)/(3 - x)²
f'(x) = (6x - 2x² + x²)/(3 - x)²
f'(x) = (6x - x²)/(3 - x)²
f'(x) = x(6 - x)/(3 - x)²
Приравняем производную нулю с условием, что х≠3
Получим: х = 0 и х = 6
Поскольку функция у = 6x - x² квадратичная, то её график - парабола веточками вниз пересекает ось х в точках х1 = 0; и х2 = 6
В точке х1 = 0 производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума, а в точке х2 = 6 производная меняет знак с + на -. Следовательно, это точка максимума.
Найдём локальные минимум и максимум функции f(x) = x²/(3 - x)
При х1 = 0 f(x) min = 0
При х2 = 6 f(x) max = 12