Все три глагола приведены в прошедшем времени.
Наш под утро так лаял, что Никитка рано проснулся и долго плакал.
А начальная форма этих глаголов (неопределенная) -- лАять, проснУться, плАкать.
У глаголов лаять и плакать -- безударные окончания, поэтому они не различаются при произношении, а могут различаться только на письме.
Учитывая, что эти глаголы не оканчиваются на "-ить" и что они не входят в группу из 4-х известных "исключительных" глаголов с окончанием "-ать", с полной уверенностью отнесем их к первому спряжению.
Ну что ты лаешь, вот и щенки твои лают да лают. Детки проснулись и плачут.
С глаголом проснуться гораздо легче определиться, потому что у него ударение падает на личные окончания.
Они различаются свободно при произношении: проснёшься, проснётся, проснёмся, проснётесь, проснУтся.
По этим ударным окончаниям относим этот глагол тоже к первому спряжению.