Question

Решить показательное уравнение

Answer 1

Разделим обе части на $15^{x+2}$ :

$\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)^{x+2}+1=\left( \frac{17}{15} \right)^{x+2}$

Так как: $\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)\ \textless \ 1$ то функция $\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)^{x+2}$ убывает.

Так как: $\displaystyle \left( \frac{17}{15} \right)\ \textgreater \ 1$ то функция $\displaystyle \left( \frac{17}{15} \right)^{x+2}$ возрастает.

Значит графики данных функций пересекаются не более чем в одной точке. Это означает, что у уравнения есть единственное решение.

Попробуем ограничить значения x на целых числах.
То есть:
$x\in \mathbb Z$

Теорема Ферма (доказана в 1995) :

Для любого целого числа $n$,так что:
$n\ \textgreater \ 2$ либо $n\ \textless \ -2$

Уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a,b,c$.

Так как $x\in \mathbb Z$ то решение у данного уравнения может находиться в промежутке:

$-2 \leq x+2 \leq 2\\\\-4 \leq x \leq 0$

Проверяя весь промежуток, мы находим что:
$x=0 \Rightarrow 8^2+15^2=17^2 \Rightarrow 289=289$

Answer 2

Разделим обе части на $15^{x+2}$:
$(8/15)^{x+2}+1=(17/15)^{x+2}$
Т.к. 8/15<1, то функция $(8/15)^{x+2}+1$ убывает на всей действительной оси.
Т.к. 17/15>1, то функция $(17/15)^{x+2}$ возрастает на всей действительной оси.
Значит графики этих функций пересекаются не более чем в одной  точке,
т.е. уравнение может иметь не более одного корня.
Легко угадывается корень х=0: 8²+15²=17². Итак ответ: х=0.