В данном случае можно писать и вослед или вслед, что одно и тоже. Но конечно предлог во считается устаревшим и применяется очень редко. Но естественно пишется вместе так как это наречие. Так что правильный ответ надо писать вместе так как это наречие.
Пишется "в тайне", если это предлог и существительное, и "втайне", если наречие. Проверка - попробовать вставить слово между "в" и "тайне". Если это легко удается ("в глубокой тайне", например) - следует писать раздельно. Еще одна проверка - задать вопрос. "В тайне" - это "в чем", "втайне" - это "как".
По правилам современного русского языка наречие "вплавь" пишется слитно, более того, архаичная основа ("плавь"), от которой оно образовано, самостоятельно в настоящее время в русском языке уже не употребляется.
Нперебой - наречие, неизменяемое, отвечает на вопрос как? Синонимы - перебивая друг друга, в неорганизованном порядке. С -на- пишется слитно, согласно правилу, что -на- пишется слитно с исходным существительным, если нет этого самостоятельного слова в русском языке.
Пример предложения: Цыгане, мешая друг другу, наперебой предлагали свой товар.
Если речь идет о наречии, то пишем слитно - вволю. Я вволю поел клубники, когда она наконец поспела. Если же речь идет о существительном с предлогом, то пишем раздельно. В волю свою я уже не верю, наверное, всю жизнь придется провести за решеткой.
