Слова поблизости и по близости существуют в русской орфографии. Их слитное или раздельное написание зависит от того, к какой части речи они принадлежат и в каком контексте используются.
Предположим, рассмотрим предложение:
Поблизости оказался городской парк, и мы зашли в его тенистую аллею.
Оказался где? поблизости.
Это наречие, которое зависит от глагола-сказуемого. Его напишем слитно с приставкой по-. Между приставкой и словом невозможно вставить прилагательное или вопрос.
Рассмотрим другой контекст:
По близости между нами еще нельзя определить, насколько прочны наши отношения.
По нашей близости, по душевной близости, по какой? близости.
В данном случае существительное "близость" в падежной форме с предлогом "по" пишется раздельно, что доказал прием подбора прилагательных, которые можно вставить между предлогом и словом, а также возможность задать вопрос.