Question

Из пункта А в пункт В выезжает автомобиль и одновременно из В в А с меньшей скоростью выезжает мотоцикл.Через некоторое время они встречаются,и в этот момент из В в А выезжает второй мотоцикл,который встречается с автомобилем в точке,отстоящей от точки встречи автомобиля с первым мотоциклом на растоянии ,равном 2/9 пути от А до В.Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше,то расстояние между точками встречи равнялось бы 72 км и первая встреча произошла бы через 3 часа после выезда автомобиля из пункта А .Найти длину пути от А до В(скорости мотоциклов одинаковы)

Answer 1

Пусть на отрезке AB точка C - место встречи автомобиля с первым мотоциклом, точка D - место встречи со вторым мотоциклом. Причем точка D находится между точками C и B. Если AB = s , скорость мотоцикла Vм , скорость автомобиля  Vа , AC =  x , то CD =  2s/9 , CB =  s−x и DB =  7s/9−x . Так как по условию автомобиль и первый мотоцикл выехали одновременно, то  x/Va=(s−x)/Vм . То есть затраченное время каждым одинаково на путь до встречи. Аналогично для автомобиля и второго мотоцикла с момента первой встречи автомобиля до второй встречи:  2/9s/Va=7/(9s−x)/Vм . Из первого уравнения выразим  x=Va*s/Va+Vм и подставим во второе. После упрощения получаем  2/Vа⋅Vм=7−(Vа/(Vа+Vм)) , то есть  2V²a−5VaVм+2V²м=0 . Разделим левую и правую части уравнения на  V²м и получим квадратное уравнение относительно  Vа/Vм :  2(Vа/Vм)²−5Vа/Vм+2=0 . Находим, что  Va/Vм=2 или  Vа/Vм=1/2 . Так как по условию скорость мотоцикла меньше, то  Vа=2Vм . Далее рассмотрим случай, когда скорость автомобиля на 20 меньше. Точки C и D будут иметь тот же смысл, что и в первом случае. Пусть AC = y, CD = 72, DB = s- y -72, CB = s - y. Тогда можно составить уравнения:  y/(Va−20)=3 ,  y/(Va−20)=(s−y)/Vм и  72/(Va−20)=(s−y−72)/Vм .  Из первого и второго уравнений выражаем y и приравниваем:  6(Vм−10)=(2s(Vм−10))/3Vм−20 , откуда  Vм=s+609 . Далее в третье уравнение подставляем найденные выражения так, чтобы осталась только неизвестная s:   36/((s+60)/9)−10)=s−6(((s+60)/9)−10)−72/((s+60)/9) . Получаем  36/(s−30)=(9s−6s+180−648)/9(s+60) , откуда  s²−294s−1800=0 и  s=300 .