Question

Найдите овласт значений 2cosквадрат а минус синус а

Answer 1

Найдите область значений2cos²а -sin(a)=2(1-sin²(a)) -sin(a)= -2sin²(a)-sin(a)+2

Пусть t=sin(a),      1≤t≤1.      Рассмотрим   y =-2t²-t+2.

Если НЕ знаем производные, ТО найдем вершину параболы
                                                                                             y =-2t²-t+2.
ДЛЯ    y=at²+bt+c      координаты вершины: t0=- b/(2a)   y0=a(t0)²+bt+c.

ДЛЯ  
y =-2t²-t+2   
координаты вершины: t0=1/(2(-2)) =-1/4   ∈[-1;1],
                                     y0=-2(-1/4)²-(-1/4)+2=2+1/8=2,125.

Ветви параболы направлены вниз,
у (t0) =2,125  - наибольшее значение .
Найдем   y(-1)=-2(-1)²-(-1)+2=-2+1+2=1  и  y(1)=-2(1)²-(1)+2=-2-1+2=-1

 (значения  y=-2t²-t+2   на концах промежутка [-1;1] ).
у (t0) =2,125;    y(-1)=1;    y(1)= -1,  ⇔ 
                                             y = -2t²-t+2= {2cos²а -sin(a)} ∈[-1;2,125]
Можно преобразовать, выделив полный квадрат:
-2(t²+2·(1/4)t+1/16) +2·(1/16)+2=2(t+1/4)²+2,125

Тогда t0=-1/4  y0=2,125, значения y(-1)=1,  y(1)= -1 вычисляем как выше. Также сравниваем y0=2,125; y(-1)=1;  y(1)= -1. Понимаем, что
    {2cos²а -sin(a)} ∈[-1;2,125]


Если знаем производные,
 найдем наименьшее наибольшее значение функции  y= -2t²-t+2 
                                                                                           при t∈[-1;1].

1) y¹= -4t-1
2)  -4t-1=0 ⇔ t=-1/4 

3) y(-1)= -2(-1)²-(-1)+2=-2+1+2=1 
4)y(1)= -2(1)²-(1)+2 =-2-1+2=-1
5)y(-1/4 )= -2(-1/4 )²-(-1/4 )+2=-1/8+1/4+2=2,125

Также сравниваем y0=2,125; y(-1)=1;  y(1)= -1.

 Понимаем, что     {2cos²а -sin(a)} ∈[-1;2,125]