Question

Найдите произведение меньшего корня на колличество корней уравнения:4^x-1-2^x+3+28=0.Ответ должен быть 4

Answer 1

4ˣ⁻¹ - 2ˣ⁺³ + 28 = 0
1/4·4ˣ - 8·2ˣ + 28 = 0
4ˣ - 32·2ˣ + 112 = 0
Пусть t = 2ˣ, t > 0.
t² - 32t + 112 = 0
t² - 32t + 256 - 114 = 0
(t - 16)² - 12² = 0
(t - 16 - 12)(t - 16 + 12) = 0
(t - 28)(t - 4) = 0
t = 28; t = 4.
Обратная замена:
2ˣ = 4
2ˣ = 2²
x = 2
2ˣ = 28
x = log₂28 = log₂(7·4) = log₂7 + log₂4 = 2 + log₂7 > 2, т.к. log₂7 > 0.
Значит, наименьший корень равен 2.
Всего два корня.
2·2 = 4.
Ответ: 4.