Question

Докажите,что при любом натуральном значении n значение выражения равно квадрату некоторого натурального числа:
1) n(n+2)(n+4)(n+6)+16
2) n(n+1)(n+2)(n+3)+1

Answer 1

1) n(n+6)=n^2+6n
(n+2)(n+4)=n^2+6n+8
Значит, n(n+2)(n+4)(n+6)+16=(n^2+6n)(n^2+6n+8)+16=(n^2+6n)^2+8(n^2+6n)+4^2=
=(n^2+6n+4)^2.

2) n(n+3)=n^2+3n
(n+1)(n+2)=n^2+3n+2
Значит, n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2.