![3\sin x+2\cos x=3](https://tex.z-dn.net/?f=3%5Csin+x%2B2%5Ccos+x%3D3)
Поделим все части на корень из суммы квадратов коэффициентов перед тригонометрическими функциями.
![\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B3%5E2%2B2%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B9%2B4%7D%3D%5Csqrt%7B13%7D)
![\dfrac{3}{\sqrt{13}}\sin x+\dfrac{2}{\sqrt{13}}\cos x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Csin+x%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Ccos+x%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D)
Сделали это для того, чтобы теперь наш корень из суммы квадратов коэффициентов был равен единице. Проверим:
![\sqrt{\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9+4}{13}}=\sqrt{\dfrac{13}{13}}=\sqrt{1}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%5Cleft%28%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cleft%28%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cright%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B9%2B4%7D%7B13%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B13%7D%7B13%7D%7D%3D%5Csqrt%7B1%7D%3D1)
Так как это верное равенство, значит, числа
и
лежат на единичной окружности. Соответственно, существует такой угол
, что, например,
и
. Отсюда возьмём
.
![\sin\varphi\sin x+\cos\varphi\cos x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\medskip\\\cos\left(x-\varphi\right)=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\medskip\\x-\varphi=\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\medskip\\x=\varphi\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\medskip\\x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin%5Cvarphi%5Csin+x%2B%5Ccos%5Cvarphi%5Ccos+x%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cmedskip%5C%5C%5Ccos%5Cleft%28x-%5Cvarphi%5Cright%29%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cmedskip%5C%5Cx-%5Cvarphi%3D%5Cpm%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cmedskip%5C%5Cx%3D%5Cvarphi%5Cpm%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cmedskip%5C%5Cx%3D%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%5Cpm%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D)
Можно наш ответ "разорвать" и привести к более благородному виду:
![\left[\begin{gathered}x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}+\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\\x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bgathered%7Dx%3D%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%5Cx%3D%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D-%5Carccos%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cend%7Bgathered%7D)
![\left[\begin{gathered}x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\\x=2\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bgathered%7Dx%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%5Cx%3D2%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D-%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cend%7Bgathered%7D)
Ответ. ![x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\,;~x=2\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%2C%3B~x%3D2%5Carcsin%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D-%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+n%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D)
пусть х скорость км час по проселочной дороге. время 2 часа
Возьмем начальную цену за х,тогда стала 1.5х-20%=1.2х
Ответ: увеличалась на 20 %
Х находится между 1570 и 1580, делится на 9. Чтобы определить какое число разделится на 9, нужно найти сумму цифр, составляющих это число, и если сумма делится на 9, то и это число делится на 9.
Подходит число 1575, т.к. 1+5+7+5 = 18, а 18/9 = 2.