Question

Спасайте,очень нужна помощь)

Сумма катетов прямоугольного
треугольника равна 15см. Каковы должны
быть их длины, чтобы гипотенуза
треугольника была наименьшей.

Answer 1

Пусть длина одного из катетов Х. Тогда длина второго катета будет 15-Х. Поскольку гипотенуза треугольника имеет неотрицательную длину, то её квадрат будет минимальным при минимальном её значении; следовательно, мы можем, приняв квадрат длины гипотенузы за У, воспользоваться теоремой Пифагора:
$y= x^{2} +(15-x)^2\\y=x^2+225-30x+x^2 \\y=2x^2-30x+225$
Найдем теперь абсциссу минимума данной функции. Так как коэффициент А этой квадратичной функции больше нуля, то её минимумом будет вершина параболы, координата Х которой имеет значение $x_0= -\frac{b}{2a} =- \frac{-30}{2*2}= \frac{15}{2}=7,5$.
Следовательно, гипотенуза треугольника будет наименьшей, если оба катета будут равны 7,5 см.