1. Два спортсмена бегают по одному кругу беговой дорожки стадиона. На преодоление одного круга первый тратит на 10 секунд меньше, чем второй если они начнут из общего старта в одном направлении, то встретятся снова через 720 секунд. Во сколько раз скорость одного спортсмена больше скорости второго?
Решение.
Расстояние в 1 круг примем за 1.
х сек - время, которое тратит на 1 круг второй
спортсмен
(х-10) сек - время, которое уходит на 1 круг у первого
1/х м/сек- скорость 2-го
1/(х-10) м/с скорость 1-го
Время умножим на скорость и получим расстояние.
720*1/(х-10) = 720/(х-10) это расстояние, которое за 720 с пройдёт 1-й.
720*1/х = 720/х - это расстояние, которое за 720 с пройдёт 2-й.
По условию известно, что первый прошёл на 1 круг больше второго.
Уравнение
720/(х-10) - 720/х =1
ОДЗ: х˃0; х#10
720х-720(х-10)=х(х-10)
х²-10х-7200=0
D=10²-4*(-7200)=28900=170²
х₁=10-170/2=-80 <0 не удовл условию
х₂=10+170/2=90 с - время 2-го
90-10=80 с - время 1-го
Расстояние 1 делим на время и получаем скорость.
1/80 – скорость 1-го
1/90 – скорость 2-го
1/80 : 1/90 = 90/80=9/8= 1 ¹/₈ = 1,125 раза
Ответ: в 1,125 раза
Задача2.
2. Имеем два сосуда, содержащих 8 кг и 12 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде?
Решение
Пусть х% - концентрация первого раствора
у% - концентрация второго р-ра
,
тогда
В первом растворе содержится 8х%/100% = 2х/25 кг кислоты,
а во втором 12у%/100% = 3у/25 кг.
Если их слить, то в полученном растворе окажется
2х/25+3у/25 кг.
С другой стороны мы получим 8+12=20 кг 35% раствора.
В нем 20*35%/100%= 7 кг кислоты.
Получаем первое уравнение
2х/25+3у/25 =7
2х+3у=175
Теперь будем сливать одинаковые массы растворов, по 8 кг.
Тогда из первого раствора перейдет 8х%/100% = 2х/25 кг кислоты;
из второго 8у%/100% = 2у/25 кг.
Итоговый раствор будет иметь массу:
8+8 = 16 кг
Находим массу кислоты в итоговом растворе:
16*36%/100% = 5,76 кг
Получаем второе уравнение:
2х/25+2у/25=5,76
Упростив, получим:
х+у=72
Итак мы получили систему уравнений
{2х+3у=175
{х+у=72
Умножим второе на (-2)
{2х+3у=175
{-2х-2у=-144
Сложим:
у = 31
х=72-31=41
При х=41% в первом растворе содержится 8*41%/100% =3,28 кг кислоты
При у=31% во втором растворе содержится 12*31%/100% = 3,72 кг кислоты
Ответ: 3,28 кг; 3,72 кг
.
