<em>Имеем квадратное уравнение, где с - некоторое произвольное число (параметр), поэтому при разных значениях с уравнение может как иметь корни, так и не иметь</em>. Поэтому нужно решить уравнения для всех возможных значений с.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2-4\cdot2\cdot c=64-8c.$

Рассмотрим 3 различных случая:

1) D < 0. Если D < 0, то уравнение не имеет решений. Найдем значения с, при которых дискриминант отрицателен: 64 - 8c < 0; 8c > 64 ⇔ c > 8. При таких значениях с корней у нас не будет вообще.

2) D = 0. Если D = 0, то уравнение имеет единственное решение: $x = -\frac{b}{2a} =-\frac{-8}{2\cdot2} =2.$ Найдем значение с, при котором дискриминант равен 0: 64 - 8c = 8 ⇔ c = 8. При таком значении параметра имеем один корень - х = 2.

3) D > 0. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня, которые находятся по общей формуле: $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a}$ . Выразим каждый из корней:

$x_1=\frac{-(-8)+\sqrt{64-4c} }{2\cdot2} =\frac{8+\sqrt{4(16-c)} }{4} =\frac{8+2\sqrt{16-c} }{4} =2+\frac{1}{2} \sqrt{16-c} .$

Аналогично $x_2=2-\frac{1}{2} \sqrt{16-c} .$

Найдем значения с, при которых дискриминант положителен: 64 - 8с > 0; 8с < 64 ⇔ c < 8. При таких значениях параметра у нас будут два корня: $x_{1,2}=2\pm\frac{1}{2} \sqrt{16-c} .$