Значений у слова «обомлеть» несколько. Правда, все они связаны общим смыслом.
Во-первых, его используют в значении «ослабеть (до потери сознания)», «(сильно) расслабиться (почти до обморока)». Например:
В ряде словарей у него имеется пометка «устаревшее». Действительно, слово прочно ассоциируется с барышнями-дворянками из русской литературы века этак 19-ого — в этих романах с ним можно встретиться куда как часто! В современных текстах попадается реже и, возможно, и в самом деле потихоньку уходит в разряд малоиспользуемых.
Вторым значением является «оцепенеть», «оторопеть» (от неожиданности, испуга, удивления и так далее). Помните?
И наконец, слово может применяться в значении «затечь, онеметь».
Слово имеет довольно древнее происхождение. Во всяком случае, сходное по звучанию и смыслу можно отыскать едва ли не в каждом языке славянского корня. Как это не удивительно, но ближайшим его этимологическим родственником является слово «медлить», «медленный». Это сейчас мы его используем в значении «небыстрый», «(двигающийся, делающий что-либо) с задержками, не торопясь», «длительный», а раньше оно означало «вялый, слабый» (что к «обомлевшему» уже, согласитесь, ближе). Впрочем, связь «медленного» и «обомлевшего» совершенно очевидна и по сию пору, ведь в иных славянских языках (например, в чешском или польском) «медленный» и сейчас ещё значит «вялый», «слабый» - совсем как в древнерусском.