1 способ
![10^{70}-19^2=100^{35}-19^2\equiv (-8)^{35}-(-8)^2 (mod \: 27)=-8^2(8^{33}+1)=-64((19*27-1)^{11}+1) \equiv -64((-1)^{11}+1) (mod \: 27)=-64(-1+1)=0](https://tex.z-dn.net/?f=10%5E%7B70%7D-19%5E2%3D100%5E%7B35%7D-19%5E2%5Cequiv%20%28-8%29%5E%7B35%7D-%28-8%29%5E2%20%28mod%20%5C%3A%2027%29%3D-8%5E2%288%5E%7B33%7D%2B1%29%3D-64%28%2819%2A27-1%29%5E%7B11%7D%2B1%29%20%5Cequiv%20-64%28%28-1%29%5E%7B11%7D%2B1%29%20%28mod%20%5C%3A%2027%29%3D-64%28-1%2B1%29%3D0)
А значит
кратно 27.
Использованы свойства сравнения чисел по модулю
_______________________
2 способ
![10^{70}-19^2=99...9639](https://tex.z-dn.net/?f=10%5E%7B70%7D-19%5E2%3D99...9639)
Теперь разобьем число на "тройки" цифр, начиная справа, и найдем сумму чисел, образуемых этими тройками:
Т.к.
делится на 27, то и исходное число делится на 27 (по признаку делимости)
Сначала возведем в куб tga+ctga, получим
![tg^3 + 3tg^2*tg + 3ctg^2tg + ctg^3](https://tex.z-dn.net/?f=tg%5E3+%2B+3tg%5E2%2Atg+%2B+3ctg%5E2tg+%2B+ctg%5E3)
Т.к. tg*ctg = 1, то получаем
![tg^3 + 3tg+3ctg + ctg^3 = tg^3 + ctg^3 +3(tg+ctg)](https://tex.z-dn.net/?f=tg%5E3+%2B+3tg%2B3ctg+%2B+ctg%5E3+%3D+tg%5E3+%2B+ctg%5E3+%2B3%28tg%2Bctg%29)
т.е. tg+ctg= p, То получаем p^3 = tg^3 + ctg^3 +3p
выражаем tg^3+ctg^3 и получаем p^3 - 3p, правильный 5й вариант ответа
Sбок = 2piRH=pi*D*H -> H=Sбок/piD=40pi/pi/5=8