Question

Докажите, что парабола вида у = ах^2 + bх + с может быть единственным образом задана координатами своей вершины В(х0; у0) и любой точкой К(х1; у1), принадлежащей параболе и такой, что:
в системе : x1 не равно x0 и y1 не равно y0

Answer 1

Известно, что парабола такого вида однозначно задается тремя точками (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), лежащими на ней. Для поиска a, b, и c получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
ax_1^2+bx_1+c=y_1;
ax_2^2+bx_2+c=y_2;
ax_3^2+bx_3+c=y_3,
определитель которой равен определителю Вандермонда, сосчитанному для x_1, x-2 и x_3, среди которых нет равных. Следовательно, определитель системы не равен нулю, а значит система имеет единственное решение.

Применение этой теории к нашей задаче обусловлено тем, что наряду с указанными двумя точками на параболе будет лежать точка, симметричная точке K относительно оси параболы.

В обозначениях задачи на параболе будет лежать точка
L(2x_0-x_1,y_1) (Абсциссу этой точки можно получить из того, что x_0 должен быть ровно посередке между абсциссами точек K и L,  то есть x_0 должен быть средним арифметическим абсцисс точек K и L