Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції та ії екстремуми y=x²+4/x²-4

Answer 1

Находим производную заданной функции:
$y'( \frac{x^2+4}{x^2-4})= \frac{(x^2+4)'*(x^2-4)-(x^2+4)*(x^2-4)'}{(x^2-4)^2}=- \frac{16x}{(x^2-4)^2}.$
Отсюда видно, что производная равна нулю только в одной точке х = 0.
Но у функции есть 2 точки разрыва, которые легко увидеть, если уравнение записать в виде (разложив знаменатель на множители):
$y= \frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)} .$
То есть в точках х=-2 и х=2 функция имеет разрыв.
В этих же точках производная не существует.
Из этого следует, что функция имеет 3 критические точки:
х = -2,  х = 0,  х = 2.
Найдём знаки производной левее и правее этих точек:
х =    -3          -2      -1          0         1          2           3
y' = 1.92          -       1.78      0      -1.78        -        -1.92.
Из этой таблицы видно, что у функции есть местный максимум в точке х = 0, при переходе через которую производная меняет знак с + на -.
Также можно дать ответ на монотонность функции:
Где производная положительна - там функция возрастает, где производная отрицательна - там функция убывает.
Функция возрастает:   (-∞ < x < -2) ∪ (-2 < x < 0),
                  убывает:   (0 < x < 2)  ∪ (2 < x < +∞).