Question

Точки соприкосновения вписаного круга делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, один с которых на 14см больше за другой. Найдите площадь треугольника, если радиус вписаного круга = 4см

Answer 1

Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Значит ОК⊥АВ, ОМ⊥АС и ОР⊥ВС.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Обозначим один отрезок гипотенузы х, а другой х + 14. Тогда

АК = АМ = х

ВК = ВР = х + 14

СМОР - квадрат, СМ = СР = 4.

Составим уравнение по теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС²

(x + (x + 14))² = (x + 4)² + (4 + x + 14)²

(2x + 14)² = (x + 4)² + (x + 18)²

4x² + 56x + 196 = x² + 8x + 16 + x² + 36x + 324

2x² + 12x - 144 = 0

x² + 6x - 72 = 0

x = 6    или     х = - 12 - не подходит по смыслу задачи.

АС = 6 + 4 = 10 см

ВС = 4 + 6 + 14 = 24 см

Sabc = 1/2 AC · BC = 1/2 · 10 · 24 = 120 см²