Разберемся сначала с графиком по точкам.
![(-1;1);(1;4)\\y=kx+b\\\begin{cases}1=-k+b\\-\\4=k+b\end{cases}\\-3=-2k\\k=1,5\\1=-1,5+b\\b=2,5\\y=1,5x+2,5](https://tex.z-dn.net/?f=%28-1%3B1%29%3B%281%3B4%29%5C%5Cy%3Dkx%2Bb%5C%5C%5Cbegin%7Bcases%7D1%3D-k%2Bb%5C%5C-%5C%5C4%3Dk%2Bb%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C-3%3D-2k%5C%5Ck%3D1%2C5%5C%5C1%3D-1%2C5%2Bb%5C%5Cb%3D2%2C5%5C%5Cy%3D1%2C5x%2B2%2C5)
Имеем:
![y=(x+2)^2\ ;y=(x-3)^2\ ;y=0\ ;y=1,5x+2,5](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%28x%2B2%29%5E2%5C+%3By%3D%28x-3%29%5E2%5C+%3By%3D0%5C+%3By%3D1%2C5x%2B2%2C5)
Строим графики(см.приложение)
Теперь самое веселое... вычисляем интегралы... обращаем внимание на вторую часть... там есть пара моментов
![\int\limits^3_1 {(x-3)^2} \, dx=\frac{(x-3)^3}{3}|^3_1=-(-\frac{8}{3})=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits%5E3_1+%7B%28x-3%29%5E2%7D+%5C%2C+dx%3D%5Cfrac%7B%28x-3%29%5E3%7D%7B3%7D%7C%5E3_1%3D-%28-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%29%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%3D2%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D)
Это была правая часть (м/у (х-3)^2 и 0).
Теперь левая... для ее вычисления надо найти точку пересечения графиков y=1,5x+2,5 и y=0.
![\begin{cases}y=1,5x+2,5\\y=0\end{cases}\\1,5x+2,5=0\\1,5x=-2,5\\x=-\frac{5}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D1%2C5x%2B2%2C5%5C%5Cy%3D0%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C1%2C5x%2B2%2C5%3D0%5C%5C1%2C5x%3D-2%2C5%5C%5Cx%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D)
И... еще раз найти пересечения м/у y=(x+2)^2 и y=0. Как ни странно но эти дебри нужны... если вы не сможете четко(!) нарисовать графики.
![\begin{cases}y=(x+2)^2\\y=1,5x+2,5\end{cases}\\(x+2)^2=1,5x+2,5\\x^2+4x+4-1,5x-2,5=0\\x^2+2,5x+1,5=0|*10\\10x^2+25x+15=0\\x_{1,2}=\frac{-25^+_-\sqrt{625-600}}{20}=\frac{-25^+_-5}{20}\\x_1=-1,5\ x_2=-1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D%28x%2B2%29%5E2%5C%5Cy%3D1%2C5x%2B2%2C5%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%28x%2B2%29%5E2%3D1%2C5x%2B2%2C5%5C%5Cx%5E2%2B4x%2B4-1%2C5x-2%2C5%3D0%5C%5Cx%5E2%2B2%2C5x%2B1%2C5%3D0%7C%2A10%5C%5C10x%5E2%2B25x%2B15%3D0%5C%5Cx_%7B1%2C2%7D%3D%5Cfrac%7B-25%5E%2B_-%5Csqrt%7B625-600%7D%7D%7B20%7D%3D%5Cfrac%7B-25%5E%2B_-5%7D%7B20%7D%5C%5Cx_1%3D-1%2C5%5C%0A+x_2%3D-1)
И теперь вторая часть... обращаем внимание что при
вычислении левой части надо будет выкинуть маленький кусок между (x-2)^2
и 1,5x+2,5
Площадь с кусочком
![\int\limits^1_{-\frac{5}{3}} {(1,5x+2,5)} \, dx=(\frac{1,5x^2}{2}+2,5x)|^1_{-\frac{5}{3}}=(0,75+2,5-\frac{25}{12}+\frac{25}{6})=5\frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits%5E1_%7B-%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%7D+%0A%7B%281%2C5x%2B2%2C5%29%7D+%5C%2C+%0Adx%3D%28%5Cfrac%7B1%2C5x%5E2%7D%7B2%7D%2B2%2C5x%29%7C%5E1_%7B-%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%7D%3D%280%2C75%2B2%2C5-%5Cfrac%7B25%7D%7B12%7D%2B%5Cfrac%7B25%7D%7B6%7D%29%3D5%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D)
Плошадь куска
![ \int\limits^{-1}_{-1,5} {1,5x+2,5-(x+2)^2} \, dx=\int\limits^{-1}_{-1,5} {1,5x+2,5} \, dx-\int\limits^{-1}_{-1,5} {(x+2)^2} \, dx=\\=(\frac{1,5x^2}{2}+2,5x)|^{-1}_{-1,5}-(\frac{(x+2)^3}{3})|^{-1}_{-1,5}=\\=0,75-2,5-1,6875+3,75-(\frac{1}{3}-\frac{1}{24})=\\=0,3125-\frac{7}{24}=\frac{5}{16}-\frac{7}{24}=\frac{15-14}{48}=\frac{1}{48}](https://tex.z-dn.net/?f=%0A+%5Cint%5Climits%5E%7B-1%7D_%7B-1%2C5%7D+%7B1%2C5x%2B2%2C5-%28x%2B2%29%5E2%7D+%5C%2C+%0Adx%3D%5Cint%5Climits%5E%7B-1%7D_%7B-1%2C5%7D+%7B1%2C5x%2B2%2C5%7D+%5C%2C+dx-%5Cint%5Climits%5E%7B-1%7D_%7B-1%2C5%7D+%0A%7B%28x%2B2%29%5E2%7D+%5C%2C+%0Adx%3D%5C%5C%3D%28%5Cfrac%7B1%2C5x%5E2%7D%7B2%7D%2B2%2C5x%29%7C%5E%7B-1%7D_%7B-1%2C5%7D-%28%5Cfrac%7B%28x%2B2%29%5E3%7D%7B3%7D%29%7C%5E%7B-1%7D_%7B-1%2C5%7D%3D%5C%5C%3D0%2C75-2%2C5-1%2C6875%2B3%2C75-%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B24%7D%29%3D%5C%5C%3D0%2C3125-%5Cfrac%7B7%7D%7B24%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B16%7D-%5Cfrac%7B7%7D%7B24%7D%3D%5Cfrac%7B15-14%7D%7B48%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B48%7D)
Теперь площадь нужной нам части
![5\frac{1}{3}-\frac{1}{48}=5\frac{5}{16}=](https://tex.z-dn.net/?f=5%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B48%7D%3D5%5Cfrac%7B5%7D%7B16%7D%3D)
А теперь площадь фигуры, наконец-то
![5\frac{5}{16}+2\frac{2}{3}=7+\frac{15+32}{48}=7\frac{47}{48}](https://tex.z-dn.net/?f=5%5Cfrac%7B5%7D%7B16%7D%2B2%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%3D7%2B%5Cfrac%7B15%2B32%7D%7B48%7D%3D7%5Cfrac%7B47%7D%7B48%7D)