Question

Помогите,пожалуйста,решить два примера.Буду благодарен.
С подробным описанием хода решения,пожалуйста.
Вычислить неопределенный интеграл:
1.$\int\limits \frac{ e^{x} \, dx}{ \sqrt{2+ e^{x} } }$
2.$\int\limits \frac{ (x+1) \, dx}{ \sqrt{ x^{2} +x+ 1 } }$

Answer 1

Для начала нужно вспомнить что такое дифференциал. Дифференциал от одной переменной, это тоже самое что и производная по этой переменной умноженная на dx.$d(f(x))=(f(x))'_xdx$ 

$\int\frac{e^xdx}{\sqrt{2+e^x}}=[d(2+e^x)=e^xdx\rightarrow dx=\frac{d(2+e^x)}{e^x}]=\\=\int\frac{e^x}{\sqrt{2+e^x}}*\frac{d(2+e^x)}{e^x}=\int(2+e^x)}^{-\frac{1}{2}}d(2+e^x})=\\=\frac{(2+e^x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2\sqrt{2+e^x}+C$


$\int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\int\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}})dx=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx$
Посчитаем интегралы отдельно.

$\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=[d(x^2+x+1)=(2x+1)dx\rightarrow dx=\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}]=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}=\frac{1}{2}\int (x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x^2+x+1)=\\=\frac{1}{2}*\frac{(x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\sqrt{x^2+x+1}+C$


Для этого интеграла вспомним такую формулу:
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$
Я уже не помню как она выводится, поэтому тут вывести не смогу.
Итак приведём наш интеграл к такому виду.
$\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=[d(x+\frac{1}{2})=dx]=\frac{1}{2}\int\frac{d(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=\frac{1}{2}*ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}|+C=\\=\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C$



В итоге получаем интеграл:
$...=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\\=\sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C$