Question

1)
В треугольнике АВС MN – средняя линия, M ∈ AB, N ∈ ВС. О – точка пересечения медиан. М(0; 3), N(–2; 3), O(–1; 2).

а) Найдите координаты точек А и В.

б) Докажите, что точка К(0; 1) принадлежит медиане AN и делит ее в отношении 1:2.

2)

Докажите, что АВ диаметр окружности (x – 2)2 + (y – 1)2 = 10, если A(5; 2), B(–1; 0).

Answer 1

1.а
Пусть А(х;0) (0- потому что А лежит на оси ОХ), В(х1;у1)
Т.к. М - середина ВА, то
(х1+х)/2=0, (0+у1)/2=3
Значит у1=6
Т.е. В(х1;6)
Рассмотрим СМ - медиана, и ОМ,лежащую на СМ
Т.к. СМ - мед. а О точка пересечения медиан, то ОМ=1/3СМ
Пусть С(х2;0) (0 т.к. С лежит на оси ОХ)
Вектор СМ имеет координаты{0-х2; 3-0}
{-х2;3}
ОМ{0-(-1);3-2}
ОМ{1;1}
ОМ*3=СМ
Так и с координатами
1*3=-х2
х2=-3
С(-3;0)
N-середина ВС
Значит (х1-3)/2=-2
х1=-1
В(-1;6)
(х+(-1))/2=0
х=1
А(1;0)