Question

Log2 (4^x + 81^x - 4*9^x +3)>=2x нужно одз вот этого 4^x + 81^x - 4*9^x +3>0 решение одз

Answer 1

Log2(4^x+81^x-4*9^x+3)≥2x
функция y=2^t возрастающая, т.е. если t1>t2, то 2^t1>2^t2
в нашем случае t1=log2(4^x+81^x-4*9^x+3) и t2=2x
тогда получим равносильное неравенство 2^log2(4^x+81^x-4*9^x+3)≥2^(2x)
по основному логарифмическому тождеству a^loga(b)=b упрощаем неравенство
4^x+81^x-4*9^x+3≥2^(2x)
2^(2x)+9^(2x)-4*9^x+3≥2^(2x)
9^(2x)-4*9^x+3≥0 
тут я остановлюсь на вопросе об ОДЗ. Смотри, мы будем решать сейчас неравенство 81^x-4*9^x+3≥0 ( которое только что получили) и дальше будем подставлять его решения в ОДЗ. НО! От подстановки мы можем прямо сейчас избавиться, так как РЕШЕНИЯ неравенства 9^(2x)-4*9^x+3≥0 ВХОДЯТ В РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА 4^x+9^(2x)-4*9^x+3≥0!!! Действительно, если 9^(2x)-4*9^x+3≥0, то и 4^x+9^(2x)-4*9^x+3≥0, т.к. 4^x>0. Всё, и ОДЗ нам решать не надо, так как наши решения в любом случае по нему подойдут.
итак, осталось решит неравенство 9^(2x)-4*9^x+3≥0
тут простая замена t=9^x
t^2-4t+3≥0
(t-3)(t-1)≥0
t∈(-∞;1] U [3;+∞)
теперь решаем совокупность двух неравенств 9^x≤1 и 9^x≥3
функция y=9^x возрастающая
9^x≤9^0
x≤0

9^x≥9^(1/2)
x≥1/2

Ответ: x≤0 и x≥1/2