Ответ:
![a=-\frac{3}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D)
Объяснение:
Здесь стоит использовать небезызвестную теорему Виета. Согласно ей, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
Второй коэффициент:
.
Свободный член: ![5a](https://tex.z-dn.net/?f=5a)
Стало быть,
,![x_{1}x_{2}=5a](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7Dx_%7B2%7D%3D5a)
Только вот дело в том, что у нас нет ни суммы, ни произведени корней, а только сумма их квадратов. Выход прост: достаточно вспомнить одну из формул сокращенного умножения:
![(x_{1}+x_{2} )^{2} =x_{1} ^{2} +2x_{1}x_{2}+x_{2} ^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%28x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%20%29%5E%7B2%7D%20%3Dx_%7B1%7D%20%5E%7B2%7D%20%2B2x_%7B1%7Dx_%7B2%7D%2Bx_%7B2%7D%20%5E%7B2%7D)
Выражаем отсюда сумму квадратов:
![x_{1} ^{2}+x_{2} ^{2}=(x_{1}+x_{2} )^{2}-2x_{1}x_{2}=(4a)^{2} -2*5a=16a^{2}-10a](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%20%5E%7B2%7D%2Bx_%7B2%7D%20%5E%7B2%7D%3D%28x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%20%29%5E%7B2%7D-2x_%7B1%7Dx_%7B2%7D%3D%284a%29%5E%7B2%7D%20-2%2A5a%3D16a%5E%7B2%7D-10a)
Из условия она равна 6:
![16a^{2}-10a=6](https://tex.z-dn.net/?f=16a%5E%7B2%7D-10a%3D6)
Решаем квадратное уравнение:
![8a^{2}-5a-3=0\\ D=25+4*8*3=121\\ a_{1}=\frac{5-11}{16}=-\frac{3}{8} ; a_{2}=\frac{5+11}{16}=1](https://tex.z-dn.net/?f=8a%5E%7B2%7D-5a-3%3D0%5C%5C%20D%3D25%2B4%2A8%2A3%3D121%5C%5C%20a_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B5-11%7D%7B16%7D%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%20%3B%20a_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B5%2B11%7D%7B16%7D%3D1)
Значения параметра получены, но еще рано писать их в ответ. Дело в том, что теорема Виета никак не может гарантировать, что корни уравнений при каждом из а будут различными: в общем случае они могут и совпадать или их вообще может не быть. От нас же в задаче требуют их наличие и, к тому же, различные. Следовательно, нужно проверить именно это относительно каждого а.
Тактика следующая: подставляем в общее уравнение каждое из а. Имеем два разных квадратных уравнения. За отличие корней, как известно, отвечает условие
.
1). ![a=1](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D1)
![x^{2}-4x+5=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D-4x%2B5%3D0)
- вообще корни отсутствуют. Значит, данное значение а нас не устраивает.
2).
- два различных корня.
Таким образом, лишь при
в полной мере достигаются все заданные требования. Это и есть ответ.