Question

Найдите точки разрыва функции и определите их типы (задание внутри)

Answer 1

Приводим к виду: $F(x)=\frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+2)(x+8)}$
Основываемся на том, что рациональные функции непрерывны на области определения чтоб найти их предел в точках разрыва:
$\lim_{x \to 6^+} \frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = \lim_{x \to 6^+} \frac{(x+8)}{(x+8)(x+2)} = \frac{1}{8}$
$\lim_{x \to 6^-} \frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = \lim_{x \to 6^+} \frac{(x+8)}{-(x+8)(x+2)} = -\frac{1}{8}$
$\lim_{x \to 6^-} f(x)=- \frac{1}{8} \neq \frac{1}{8}= \lim_{x \to 6^+} f(x)=>$ точка конечного разрыва.

$\lim_{x \to -8^-} \frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = \lim_{x \to -8^-} \frac{1}{-(x+2)} = \frac{1}{6}$
$\lim_{x \to -8^+} \frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = \lim_{x \to -8^+} \frac{1}{-(x+2)} = \frac{1}{6}$
$\lim_{x \to -8^-}f(x)= \frac{1}{6}= \lim_{x \to -8^+} f(x)=>$ точка устранимого разрыва.

$\lim_{x \to -2^-} \frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{-(x+2)} = \infty$
$\lim_{x \to -2^+} \frac{(x-6)(x+8)}{|x-6|(x+8)(x+2)} = \lim_{x \to -2^+} \frac{1}{-(x+2)} = -\infty$
$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \infty, \lim_{x \to -2^+} f(x)= -\infty => \lim_{x \to -2} f(x)=$ф $=>$ точка разрыва второго порядка