Question

Найти все значения a, при которых вершины парабол

$y=x^{2}-2(a+1)x+1$ и $y=ax^{2}-x+a$

лежат по разные стороны от прямой y=3/4

Answer 1

Координата х вершины параболы находится по формуле $x=-\frac{b}{2a}$, тогда $x_{1}=\frac{2(a+1)}{2}=a+1\\ x_{2}=\frac{1}{2a}.$

 

Условие при котором эти вершины лежат по разные сторны от прямой y=3/4  следующее $\begin{cases} a+1<\frac{3}{4}\\\frac{1}{2a}>\frac{3}{4}\end{cases}$ или $\begin{cases} a+1>\frac{3}{4}\\\frac{1}{2a}<\frac{3}{4}\end{cases}$

 

эти два условия можно объединить в одно $(a+1-\frac{3}{4})(\frac{1}{2a}-\frac{3}{4})<0\\ (a-\frac{1}{4})\frac{(4-6a)}{2a}<0$

 

Полученное неравенство решим методом интервалов. Рисунок в прикрепленном файле.