По определению, производная есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии стремления этого приращения аргумента к нулю.

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Для функции тангенса имеем:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\mathrm{tg}(x+\Delta x)-\mathrm{tg}x}{\Delta x}$

Преобразуем разность тангенсов по формуле $\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta =\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$ :

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\sin(x+\Delta x-x)}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos x}$

Рассмотрим предел произведения как произведение пределов:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}\cdot \lim\limits_{\Delta x\to 0}}\dfrac{1}{\cos(x+\Delta x)\cos x}$

Значение первого предела-сомножителя равно 1 (первый замечательный предел). Вычисляя второй предел-сомножитель, получим итоговый результат:

$f'(x)=1\cdot \dfrac{1}{\cos(x+0)\cos x}= \dfrac{1}{\cos x\cos x}= \dfrac{1}{\cos^2 x}$

Таким образом:

$\boxed{\left(\mathrm{tg}x\right)'= \dfrac{1}{\cos^2 x}}$

0 0

4 года назад

Прочитать ещё 2 ответа

Равнобедренном треугольнике ABC основание акция на один см меньше его боковой стороны AВCпериметр равны 23 см сантиметра найди о

Alex210679

X - основание, x+1 - боковая ст.; x+x+1+x+1=23; 3x=21; x=7; Ответ: 7см

0 0

3 года назад

Прочитать ещё 2 ответа

Какое свойство подобных треугольников ??

Androsynth

Два треугольника называются подобными,если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.
это тебе нужно?
если ABC подобен A1B1C1, то AB/A1B1=AC/A1C1=/BC/B1C1=P/P1=m/m1=b/b1=h/h1=R/R1=корень S/S1
m,m1-медианы
b,b1-биссектрисы
h,h1-высоты

0 0

4 года назад