Question

Найти производную функции тангенса y=tgx по определению

Answer 1

$y=tgx\\\\y'=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Gelta x \to 0}\frac{tg(x+\Delta x)-tgx}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{sin(x+\Delta x-x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cosx\cdot \Delta x}=\\\\=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{sin\Delta x}{\frac{1}{2}\cdot (\, cos(x+\Delta x+x)+cos(x+\Delta x-x)\, )\cdot \Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{2\Delta x}{\Delta x\cdot (\, cos(2x+\Delta x)+cos\Delta x\, )}=\\\\=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2}{cos(2x+\Delta x)+cos\Delta x}=\Big [\, \Delta x\to 0\, \Big ]=\frac{2}{cos2x+cos0}=\frac{2}{cos2x+1}=\\\\=\frac{2}{2cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}\\\\(tgx)'=\frac{1}{cos^2x}$

Answer 2

По определению, производная есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии стремления этого приращения аргумента к нулю.

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Для функции тангенса имеем:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\mathrm{tg}(x+\Delta x)-\mathrm{tg}x}{\Delta x}$

Преобразуем разность тангенсов по формуле $\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta =\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\sin(x+\Delta x-x)}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos x}$

Рассмотрим предел произведения как произведение пределов:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}\cdot \lim\limits_{\Delta x\to 0}}\dfrac{1}{\cos(x+\Delta x)\cos x}$

Значение первого предела-сомножителя равно 1 (первый замечательный предел). Вычисляя второй предел-сомножитель, получим итоговый результат:

$f'(x)=1\cdot \dfrac{1}{\cos(x+0)\cos x}= \dfrac{1}{\cos x\cos x}= \dfrac{1}{\cos^2 x}$

Таким образом:

$\boxed{\left(\mathrm{tg}x\right)'= \dfrac{1}{\cos^2 x}}$