Докажем, что все члены последовательности лежат в пределах [3/2;2].
x_1 там лежит; пусть для некоторого n выполнено 3/2≤x_n≤2;
тогда 1/2≤1/x_n≤2/3⇒3/2≤1+(1/x_n)≤5/3<2⇒3/2≤x_(n+1)≤2; тем самым методом математической индукции утверждение доказано для всех членов последовательности.
Далее, оценим разность между соседними членами последовательности:
|x_(n+1) - x_n|=|1+(1/x_n) - 1 - (1/x_(n-1))|=|x_(n-1) - x_n|/(x_n·x_(n-1))≤
|x_(n-1) - x_n|/(3/2)^2
Отсюда следует сходимость последовательности.
Предел A последовательности теперь ищется элементарно. Для этого нужно перейти к пределу в равенстве x_(n+1)=1+(1/x_n):
A=1+(1/A); A^2-A-1=0; A=(1+√5)/2 (отрицательный корень отбросили, поскольку A>0
[2A]=[1+√5]=3
Ответ: 3
А)-5*(2b-a)=-10b+5a
-10b+5a=5a-10b
б)3x*(x²+2)=3x³+6x
3x³+6x=3x³+6
в)m*((4m-3n)=4m²-3mn
4m²-3mn=4m²-3mn
г)(7a-5b)(7a-5b)=(7a-5b)²=49a²-70ab+25b²
49a²-25b²≠49a²-70ab+25b²
д)-1*(b-a)=-b+a
a-b=-b+a
Х2=18-7х
х2+7х-18=0
Д=49-4*(-18)=49+72=121=11 в кв
х1=-7-11\2=-18\2=-9
х2=-7+11\2=2
проверка
а)х=-9
81=18-7*(-9)
81=18+63
81=81
б)х=2
4=18-7*2
4=18-14
4=4
Ответ ------
х=-9
х=2
(x+1+1/4x):(x-1/4x)=[(4x²+4x+1)/4x]:[(4x²-1)/4x]=[(2x+1)²/4x] :[(2x+1)*(2x-1)/4x]=
=(2x+1)/(2x-1)
x=11,5
(2*11,5+1)/(2*11,5-1)=24/22=12/11
Найдем корни уравнения X ^ 2 + 5 * x - 3 = 0 по теореме Виета.
х1 и х2 - корни уравнения.
Теорема Виета:
Сумма корней х1 и х2 равна - b, то есть х1 + х2 = - 5 ;
Произведение корней х1 и х2 равна с, то есть х1 * х2 = -3 ;
Получим систему уравнений:
х1 + х2 = - 5 ;
х1 * х2 = - 3 ;
1 ) х1 + х2 = - 5 ;
x1 = - 5 - x2 ;
2 ) x1 * x2 = - 3 ;
( - 5 * x2 ) * x2 = - 3 ;
- 5 * x2 ^ 2 = - 3 ;
5 * x2 ^ 2 - 3 = 0 ;
D = b ^ 2 - 4ac = 0 ^ 2 - 4·5·(-3) = 0 + 60 = 60;
x21 = ( 0 - √60 ) / ( 2·5 ) = - 0.2√15 ;
x22 = ( 0 + √60 ) / ( 2·5 ) = 0.2√15 ;
3 )x11 = - 5 - ( - 0.2√15 ) = - 5 + 0.2√15 ;
x12 = - 5 - 0.2√15 ;
Ответ: ( - 5 + 0.2√15 ; - 0.2√15 ) и ( - 5 - 0.2√15 ; 0.2√15 ).