Question

Докажите неравенство для положительных значений переменных:x+y≤(x/y+y/x)*√yx

Answer 1

так как x>0; y>0, то

$x+y \leq (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\sqrt{xy}; <=> \\ (x+y)xy \leq (x^2+y^2)\sqrt{xy}; <=> \\ (x+y)\sqrt{xy} \leq (x^2+y^2); <=> \\ \frac {x+y}{2}* 2\sqrt{xy} \leq (x^2+y^2); <=> \\ \frac {(x+y)^2}{2} \leq (x^2+y^2);\\ \frac {x+y}{2} \leq \sqrt \frac {x^2+y^2}{2}$

чтосправедливо как неравенство между средним арифмитечским и средним квадратическим

Доказано.

 

 

$\sqrt(xy) \leq \ \frac{x+y}{2}$ - неравенство между средним геометрическим и средним арифмитическим