Есть формулы , по которым сразу можно найти
![A_{n}^{k}](https://tex.z-dn.net/?f=A_%7Bn%7D%5E%7Bk%7D)
, не применяя факториал:
![A_{n}^{k}=n\cdot (n-1)(n-2)\cdot ...\cdot (n-k+1)\; \; \; \; \Rightarrow \\\\A_{k}^5=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot ...\cdot (k-5+1)=\\\\=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot (k-3)\cdot (k-4)\\\\A_{k}^4=k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot (k-4+1)=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)(k-3)\\\\A_{k}^3=k\cdot ...\cdot (k-3+1)=k\cdot (k-1)(k-2) ](https://tex.z-dn.net/?f=A_%7Bn%7D%5E%7Bk%7D%3Dn%5Ccdot%20%28n-1%29%28n-2%29%5Ccdot%20...%5Ccdot%20%28n-k%2B1%29%5C%3B%20%5C%3B%20%5C%3B%20%5C%3B%20%5CRightarrow%20%5C%5C%5C%5CA_%7Bk%7D%5E5%3Dk%5Ccdot%20%28k-1%29%5Ccdot%20%28k-2%29%5Ccdot%20...%5Ccdot%20%28k-5%2B1%29%3D%5C%5C%5C%5C%3Dk%5Ccdot%20%28k-1%29%5Ccdot%20%28k-2%29%5Ccdot%20%28k-3%29%5Ccdot%20%28k-4%29%5C%5C%5C%5CA_%7Bk%7D%5E4%3Dk%5Ccdot%20%28k-1%29%5Ccdot%20...%5Ccdot%20%28k-4%2B1%29%3Dk%5Ccdot%20%28k-1%29%5Ccdot%20%28k-2%29%28k-3%29%5C%5C%5C%5CA_%7Bk%7D%5E3%3Dk%5Ccdot%20...%5Ccdot%20%28k-3%2B1%29%3Dk%5Ccdot%20%28k-1%29%28k-2%29%0A)
Можно заметить, что количество множителей в произведении будет равно числу, написанному вверху, над А. И поэтому, чтоб не высчитывать, на каком множителе остановиться, можно писать множители, начиная с числа, указанного внизу, уменьшая каждый множитель на 1, и считая их по количеству, указанному вверху.
Аналогично с сочетаниями:
![C_{n}^{k}= \frac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}](https://tex.z-dn.net/?f=C_%7Bn%7D%5E%7Bk%7D%3D%20%5Cfrac%7Bn%5Ccdot%20%28n-1%29%5Ccdot%20...%5Ccdot%20%28n-k%2B1%29%7D%7Bk%21%7D%20)
Например,
![C_7^3= \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3!} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3} =7\cdot 5=35](https://tex.z-dn.net/?f=C_7%5E3%3D%20%5Cfrac%7B7%5Ccdot%206%5Ccdot%205%7D%7B3%21%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B7%5Ccdot%206%5Ccdot%205%7D%7B1%5Ccdot%202%5Ccdot%203%7D%20%3D7%5Ccdot%205%3D35)
.
Работа со схемой Горнера
![y^4-y^3-7y^2+y+6=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%5E4-y%5E3-7y%5E2%2By%2B6%3D0)
Так как сумма коэффициентов равна 0, то:
![(x-1)(x^3-7x-6)=0 \\\ x_1=1 \\\ x^3-7x-6=0 \\\ (x+1)(x^2-x-6)=0 \\\ x_2=-1 \\\ x^2-x-6=0 \\\ D=1+24=25 \\\ x=\frac{1\pm 5}{2} \\\ x_3=3 \\\ x_4=-2](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1%29%28x%5E3-7x-6%29%3D0+%5C%5C%5C+x_1%3D1+%5C%5C%5C+x%5E3-7x-6%3D0+%5C%5C%5C+%28x%2B1%29%28x%5E2-x-6%29%3D0+%5C%5C%5C+x_2%3D-1+%5C%5C%5C+x%5E2-x-6%3D0+%5C%5C%5C+D%3D1%2B24%3D25+%5C%5C%5C+x%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm+5%7D%7B2%7D+%5C%5C%5C+x_3%3D3+%5C%5C%5C+x_4%3D-2)
<em><u>Ответ: -2; -1; 1; 3</u></em>
Предположим, что оно существует! Пусть это будет а/с несократимая дробь.
Значит (а/с)² = 7
(а²) /(с²) =7
а² = с² * 7. В правой части выражение кратно 7, значит и в левой кратно 7. А это означает, что а кратно 7, т.е. а = 7к.
(7к)² с² * 7
49 к² = 7 с². Сократи на 7.
7 к² = с². Теперь в левой части число кратно 7, а значит и в правой тоже кратно 7. Значит с= 7п. Получается, что дробь а/с будет сократимой, что противоречит нашему предположению о том, что она несократимая.. Значит такой дроби не существует.