Question

Помогите решить логарифмические неравенство решите неравенство log1/2 (3x+6) - log1/2 (2x-4) < log 1/2 (2x-6) +2

Answer 1

Начнем с ОДЗ:

3x+6 > 0 => x > -2

2x - 4 > 0 => x > 2. Общее ОДЗ: x>3

2x - 6 > 0 => x > 3

Решение:

Представим 2, как log1/2 (1/4), чтобы было удобнее считать. Далее применяем свойства суммы и разности логарифмов, и неравенство сводится к обычному дробно-рациональному. И не забываем поменять знак на противоположный, потому что основание логарифма меньше 1.

log1/2 ( (3x+6)/(2x-4) ) < log1/2 ( 1/4*(2x-6) )

log1/2 t - убывающая функция, а значит знак меняем.

(3x+6)/(2x-4) > x/2 - 6/4

(3x + 6 -x² + 2x + 3x -6) / 2(x-2) > 0

x(8 - x) / 2(x-2) > 0

Решение этого неравенства будет x ∈ ( - ∞; 0) ∪ ( 2; 8)

Из ОДЗ следует, что х>3, то ответ будет: x ∈ ( 3; 8)

Ответ: (3; 8)